예송중 3학년 2학기 기말고사 수학 기출 해설 (2025) | 전 문항 풀이

수학 독립만세입니다.

이 글에서는 예송중학교 3학년 2025학년도 2학기 기말고사 수학 문제를 처음부터 끝까지 풀어 봅니다. 시험 범위는 삼각비와 원의 성질이었고, 25문항 모두 객관식이었습니다. 특수각 계산 같은 기본 문항부터, 그림에 원을 하나 더 떠올려야 풀리는 5점 문항까지 난이도 폭이 꽤 넓었던 시험입니다. 2026년 2학기 기말을 준비하는 예송중 3학년 학생과, 아이가 어떤 시험을 보게 될지 궁금한 학부모님께 참고가 되면 좋겠습니다.

맨 앞의 표에는 문항마다 단원, 풀이의 열쇠가 되는 개념, 배점에 따른 난이도를 정리했고, 번호를 누르면 그 문항 풀이로 이동합니다. 이어서 시험 전체의 흐름을 짚은 다음, 1번부터 25번까지 중학교 3학년 교과서 범위 안의 방법으로 단계별 풀이를 적었습니다. 학생들이 자주 걸려 넘어지는 문항에는 따로 주의 상자를 붙였습니다.

시험지 원문은 저작권 보호 대상이어서 이 글에 옮겨 싣지 않았습니다. 대신 각 문항이 무엇을 묻는지 한두 문장으로 요약했고, 풀이는 단계를 건너뛰지 않고 모두 적었습니다. 어떤 개념을 어떤 순서로 쓰면 답이 나오는지는 이 글만으로도 충분히 따라오실 수 있습니다.

예송중학교 기출문제를 먼저 풀어보고 싶다면

풀이부터 읽으면 쉬워 보이지만, 시험지를 직접 펼치면 막히는 곳이 꼭 생깁니다. 아래 글에서 기출문제를 무료로 보는 방법을 확인해 먼저 혼자 풀어 보고, 다 푼 뒤 이 페이지로 돌아와 채점과 풀이를 확인해 보세요.

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예송중 3학년 2학기 기말고사(2025) 문항별 단원·난이도 한눈에 보기

번호	단원	핵심 개념	난이도 (배점 기준)
1	삼각비	tan A = sin A ÷ cos A 이므로 cos A × tan A = sin A	★☆☆
2	삼각비	0°, 30°, 45°, 60°, 90°의 삼각비 값	★★☆
3	삼각비의 활용	두 변과 끼인각이 둔각이면 넓이 = ½ab sin(180° − 끼인각)	★☆☆
4	삼각비	반지름이 1인 사분원에서는 빗변이 1인 선분이 곧 삼각비 값	★☆☆
5	삼각비의 활용	수선을 내려 45°·30° 직각삼각형 두 개로 나눈다	★★☆
6	삼각비의 활용	높이를 h로 두고 밑변을 두 직각삼각형의 밑변 합으로 나타낸다	★★☆
7	삼각비	AD = BD = d로 두고 직각삼각형 ADC에서 피타고라스 정리	★★★
8	삼각비의 활용	두 변과 끼인각 A로 S = ab sin A, 둔각이면 sin(180° − A)	★★☆
9	삼각비	MA = MB = MD 이므로 네 점 A, B, C, D는 AB를 지름으로 하는 원 위에 있다	★★★
10	삼각비의 활용	종이를 접으면 접힌 각이 같고, 평행선의 엇각이 같아 이등변삼각형	★★☆
11	삼각비	AM = a로 두면 AB = √3a, BM = MC = 2a	★★★
12	원과 직선	중심에서 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같고, 수선은 현을 이등분	★☆☆
13	원과 직선	접은 호가 중심을 지나면 중심에서 현까지의 거리는 반지름의 절반	★★☆
14	원주각	원주각은 중심각의 절반, 지름에 대한 원주각은 90°, 같은 호의 원주각은 같다	★☆☆
15	원주각	같은 호에 대한 원주각은 같고, 삼각형의 외각은 이웃하지 않는 두 내각의 합	★★☆
16	원주각	지름 BA'을 그으면 ∠A' = ∠A, ∠BCA' = 90°	★★☆
17	원주각	원주각의 2배인 중심각과 접선 ⊥ 반지름	★★☆
18	원주각	보조선 BD를 그어 원에 내접하는 사각형 ABDE를 만든다	★★☆
19	원과 직선	꼭짓점에서 내접원까지의 두 접선의 길이는 같다 → 이등변삼각형	★★☆
20	원주각	∠APB > 90°인 점 P는 AB를 지름으로 하는 원의 안쪽	★★☆
21	원과 직선	원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다	★★☆
22	원주각	선분의 같은 쪽 두 각이 같거나, 대각의 합이 180°이면 네 점은 한 원 위에	★★☆
23	원주각	QA = QB이면 ∠QAB = ∠QBA = 45°, 같은 호의 원주각 ∠APQ = ∠BPQ = 45°	★★★
24	원과 직선	내접원의 반지름 r: (8 − r) + (15 − r) = 17	★★☆
25	원주각	∠APB가 일정한 점 P의 자취는 원의 호(원주각) — 45°의 호와 90°의 원 사이	★★★

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예송중 3학년 2025 2학기 기말 수학, 출제 흐름

단원으로 나누면 삼각비가 11문항(1-11번), 원과 직선이 5문항(12·13·19·21·24번), 원주각이 9문항(14-18·20·22·23·25번)입니다. 앞쪽은 삼각비, 뒤쪽은 원의 성질로 깔끔하게 나뉘어 있습니다.

삼각비에서는 특수각 값과 정의를 묻는 1·2·4번으로 시작해, 수선을 내려 30°·45° 직각삼각형으로 쪼개는 5·6번, 둔각을 끼인각으로 하는 넓이 공식을 쓰는 3·8번이 이어졌습니다. 5점 문항인 7·9·11번은 모두 '길이를 하나 미지수로 두고 직각삼각형을 찾는' 문제였는데, 그중 9번은 중점과 연장선으로 만든 점이 지름 AB의 원 위에 있다는 것을 알아채야 풀리는, 원 단원과 연결된 문제였습니다.

원 단원은 현의 성질(12·13번)과 접선의 길이(19·21·24번), 원주각(14-18·20·22·23·25번)을 고루 물었습니다. 5점인 23번은 같은 호에 대한 원주각으로 45°를 두 번 찾고 사각형 넓이를 두 가지로 나누어야 했고, 25번은 각의 크기가 범위로 주어진 점의 영역을 원주각의 성질로 그려 내는 문제였습니다. 보기 다섯 개를 하나씩 따져야 하는 14·22번은 어렵지는 않지만 시간이 드는 문항이었습니다.

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예송중 3학년 2학기 기말고사 수학 전 문항 단계별 풀이

1번삼각비★☆☆

핵심 개념 · tan A = sin A ÷ cos A 이므로 cos A × tan A = sin A

∠C가 직각인 직각삼각형에서 한 예각의 사인 값이 주어질 때, 그 각의 코사인과 탄젠트를 곱한 값을 구하는 문제입니다.

이 문제는 탄젠트를 사인과 코사인으로 나타내어 식을 간단히 하는 문제입니다.

STEP 1직각삼각형에서 $\tan A=\frac{\overline{BC}}{\overline{AC}}$, $\cos A=\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}$이므로 $$\cos A\times \tan A=\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}\times \frac{\overline{BC}}{\overline{AC}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=\sin A$$

STEP 2따라서 $\cos A\times \tan A=\sin A=\frac{1}{3}$입니다. (검산: $\overline{AB}=3$, $\overline{BC}=1$로 두면 $\overline{AC}=2\sqrt{2}$이고 $\frac{2\sqrt{2}}{3}\times \frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{3}$)

정답: ② $\frac{1}{3}$

2번삼각비★★☆

핵심 개념 · 0°, 30°, 45°, 60°, 90°의 삼각비 값

특수각(0°, 30°, 45°, 60°, 90°)의 삼각비로 된 계산식 다섯 개 중 계산 결과가 옳은 것의 개수를 구하는 문제입니다.

이 문제는 특수각의 삼각비 값을 정확히 대입해 하나씩 계산하는 문제입니다.

STEP 1필요한 값: $\sin 0^{\circ }=0,\cos 0^{\circ }=1,\tan 0^{\circ }=0$, $\sin 90^{\circ }=1,\cos 90^{\circ }=0$, $\sin 30^{\circ }=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\sin 60^{\circ }=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3},\tan 45^{\circ }=1$

STEP 2첫째 식: $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$ (옳음) / 둘째 식: $1+0=1\ne 0$ (틀림) / 셋째 식: $\frac{\sqrt{3}}{2}\times 0+0=0$ (옳음)

STEP 3넷째 식: $\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{6}\ne \sqrt{3}$ (틀림) / 다섯째 식: $\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\times 1=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\ne 1$ (틀림)

STEP 4옳은 식은 첫째와 셋째, 모두 2개입니다.

정답: ② 2

3번삼각비의 활용★☆☆

핵심 개념 · 두 변과 끼인각이 둔각이면 넓이 = ½ab sin(180° − 끼인각)

두 변의 길이와 그 끼인각(둔각)이 주어진 삼각형의 넓이를, 주어진 사인 값 표를 이용해 구하는 문제입니다.

이 문제는 끼인각이 둔각일 때 180°에서 뺀 각의 사인 값을 쓰는 삼각형의 넓이 공식을 쓰는 문제입니다.

STEP 1끼인각 $\angle BAC=122^{\circ }$가 둔각이므로 $180^{\circ }-122^{\circ }=58^{\circ }$의 사인 값을 씁니다. 표에서 $\sin 58^{\circ }=0.85$입니다.

STEP 2$$△ABC=\frac{1}{2}\times 6\times 5\times \sin 58^{\circ }=15\times 0.85=12.75$$

정답: ③ 12.75

4번삼각비★☆☆

핵심 개념 · 반지름이 1인 사분원에서는 빗변이 1인 선분이 곧 삼각비 값

반지름이 1인 사분원 위의 점과 그 점을 지나는 직선, 수선으로 만든 그림에서 세 각의 삼각비를 선분의 길이로 바르게 나타낸 것을 고르는 문제입니다.

이 문제는 반지름 1을 빗변 또는 밑변으로 하는 직각삼각형을 찾아 삼각비를 선분으로 바꾸는 문제입니다.

STEP 1직각삼각형 AOB에서 $\overline{OA}=1$이므로 $\sin x=\overline{AB}$, $\cos x=\overline{OB}$입니다. 직각삼각형 DOC에서 $\overline{OC}=1$이므로 $\tan x=\overline{CD}$입니다.

STEP 2그림에서 $y=\angle OAB$, $z=\angle ODC$입니다. 두 삼각형에서 $y=90^{\circ }-x$, $z=90^{\circ }-x$이므로 $y=z$이고, $\cos z=\cos y=\frac{\overline{AB}}{\overline{OA}}=\overline{AB}$, $\tan z=\frac{\overline{OC}}{\overline{CD}}=\frac{1}{\overline{CD}}$입니다.

STEP 3보기를 확인하면 ① $\tan z=\frac{1}{\overline{CD}}$이므로 틀림, ② $\cos z=\overline{AB}$ 옳음, ③ $\cos y=\overline{AB}$이므로 틀림, ④ $\tan x=\overline{CD}$이므로 틀림, ⑤ $\sin x=\overline{AB}$이므로 틀림입니다.

정답: ② $\cos z=\overline{AB}$

여기서 많이 틀려요 · y와 z는 x가 아니라 90°에서 x를 뺀 각입니다. 그래서 cos z, cos y는 cos x가 아니라 sin x와 같아집니다.

5번삼각비의 활용★★☆

핵심 개념 · 수선을 내려 45°·30° 직각삼각형 두 개로 나눈다

삼각형의 두 각과 그 사이 변의 길이가 주어질 때, 나머지 한 변(두 점 사이의 거리)을 구하는 문제입니다.

이 문제는 꼭짓점 C에서 변 AB에 수선을 내려 특수각 직각삼각형 두 개로 나누어 푸는 문제입니다.

STEP 1$\angle A=180^{\circ }-45^{\circ }-105^{\circ }=30^{\circ }$입니다. 점 C에서 $\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 H라 하면, 직각삼각형 BCH에서 $$\overline{CH}=200\sin 45^{\circ }=200\times \frac{\sqrt{2}}{2}=100\sqrt{2}\text{(m)}$$

STEP 2직각삼각형 ACH에서 $\angle A=30^{\circ }$이므로 $$\overline{AC}=\frac{\overline{CH}}{\sin 30^{\circ }}=100\sqrt{2}÷\frac{1}{2}=200\sqrt{2}\text{(m)}$$

정답: ④ $200\sqrt{2}$ m

6번삼각비의 활용★★☆

핵심 개념 · 높이를 h로 두고 밑변을 두 직각삼각형의 밑변 합으로 나타낸다

삼각형의 두 각과 그 사이 변의 길이가 주어질 때, 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다. (그림에 표시된 대로 밑변 AB의 길이가 주어진 것으로 보고 풀었습니다.)

이 문제는 꼭짓점 C에서 밑변 AB에 수선을 내리고, 높이를 미지수로 두어 방정식을 세우는 문제입니다.

STEP 1점 C에서 $\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 H, $\overline{CH}=h$라 합니다. $\angle B=45^{\circ }$이므로 $\overline{BH}=h$, $\angle A=30^{\circ }$이므로 $\overline{AH}=\frac{h}{\tan 30^{\circ }}=\sqrt{3}h$입니다.

STEP 2$\overline{AH}+\overline{BH}=8$이므로 $$\sqrt{3}h+h=8,h=\frac{8}{\sqrt{3}+1}=\frac{8(\sqrt{3}-1)}{2}=4(\sqrt{3}-1)$$

STEP 3$$△ABC=\frac{1}{2}\times 8\times 4(\sqrt{3}-1)=16(\sqrt{3}-1){\text{(cm}}^2\text{)}$$

정답: ④ $16(\sqrt{3}-1)$ cm²

7번삼각비★★★

핵심 개념 · AD = BD = d로 두고 직각삼각형 ADC에서 피타고라스 정리

직각삼각형의 빗변이 아닌 변 위에 한 점을 잡아 두 선분의 길이가 같게 하였을 때, 한 각의 탄젠트 값으로부터 다른 각의 코사인 값을 구하는 문제입니다.

이 문제는 탄젠트 값으로 변의 길이를 구한 뒤, 같은 길이를 미지수로 두고 피타고라스 정리를 세우는 문제입니다.

STEP 1직각삼각형 ABC에서 $\tan x=\frac{\overline{AC}}{\overline{BC}}=\frac{12}{\overline{BC}}=\frac{2}{3}$이므로 $\overline{BC}=18$ cm입니다.

STEP 2$\overline{AD}=\overline{BD}=d$라 하면 $\overline{DC}=18-d$이고, 직각삼각형 ADC에서 $$(18-d{)}^2+12^2=d^2,468-36d=0,d=13$$

STEP 3$\overline{AD}=13$, $\overline{DC}=5$이므로 $y=\angle ADC$에 대하여 $$\cos y=\frac{\overline{DC}}{\overline{AD}}=\frac{5}{13}$$

정답: ① $\frac{5}{13}$

8번삼각비의 활용★★☆

핵심 개념 · 두 변과 끼인각 A로 S = ab sin A, 둔각이면 sin(180° − A)

두 변의 길이가 문자로 주어진 삼각형의 넓이에 대한 네 가지 설명 중 옳은 것을 모두 고르는 문제입니다.

이 문제는 두 변과 끼인각으로 넓이를 나타낸 뒤, 끼인각의 크기에 따라 넓이가 어떻게 변하는지 따지는 문제입니다.

STEP 1두 변 $\overline{AB}=2a$, $\overline{CA}=b$의 끼인각은 $\angle A$이므로, $\angle A$가 예각이면 $S=\frac{1}{2}\times 2a\times b\times \sin A=ab\sin A$, 둔각이면 $S=ab\sin (180^{\circ }-A)$, 직각이면 $S=ab$입니다.

STEP 2ㄱ: $\angle C=30^{\circ }$만으로는 $\angle A$가 정해지지 않습니다. 예를 들어 $\angle A=90^{\circ }$, $\angle C=30^{\circ }$이면 $S=ab$이므로 $\frac{1}{4}ab$가 아닙니다. (틀림)

STEP 3ㄴ: 예각·둔각일 때 사인 값은 1보다 작으므로 $S<ab$이고, $\angle A=90^{\circ }$일 때 $S=ab$로 가장 큽니다. (옳음) / ㄷ: $b=2a$, $\angle A=60^{\circ }$이면 $S=a\times 2a\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}{a}^2$ (옳음)

STEP 4ㄹ: $\angle A$가 90°를 넘어 커지면 $180^{\circ }-A$가 작아져 넓이가 줄어듭니다. (틀림) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ입니다.

정답: ③ ㄴ, ㄷ

여기서 많이 틀려요 · ㄹ에서 '각이 커질수록 넓이도 커진다'는 90°까지만 맞습니다. 둔각이 되면 180°에서 뺀 각의 사인을 쓰므로 다시 작아집니다.

9번삼각비★★★

핵심 개념 · MA = MB = MD 이므로 네 점 A, B, C, D는 AB를 지름으로 하는 원 위에 있다

직각삼각형에서 두 변의 중점을 이은 선분을 연장해 한 점을 잡았을 때, 그 점으로 만든 두 각의 탄젠트 값의 합을 구하는 문제입니다.

이 문제는 길이를 계산해 네 점이 한 원 위에 있음을 찾고, 원주각과 지름에 대한 원주각을 이용해 두 탄젠트 값을 구하는 문제입니다.

STEP 1$\overline{AB}=\sqrt{24^2+10^2}=26$이므로 $\overline{MA}=\overline{MB}=13$입니다. 중점연결정리에 의해 $\overline{MN}\parallel \overline{AC}$, $\overline{MN}=\frac{1}{2}\times 10=5$이므로 $\overline{MD}=5+8=13$입니다.

STEP 2$\overline{MA}=\overline{MB}=\overline{MD}=13$이고 $\angle ACB=90^{\circ }$이므로, 네 점 A, B, C, D는 $\overline{AB}$를 지름으로 하는 원 위에 있습니다. 따라서 $\angle ADB=90^{\circ }$입니다.

STEP 3$x=\angle ADC$와 $\angle ABC$는 같은 호 AC에 대한 원주각이므로 $$\tan x=\tan (\angle ABC)=\frac{\overline{AC}}{\overline{BC}}=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}$$

STEP 4$\overline{MN}\perp \overline{BC}$이므로 $\overline{BD}=\sqrt{12^2+8^2}=4\sqrt{13}$, $\overline{AD}=\sqrt{26^2-(4\sqrt{13}{)}^2}=\sqrt{468}=6\sqrt{13}$입니다. 직각삼각형 ABD에서 $y=\angle BAD$이므로 $$\tan y=\frac{\overline{BD}}{\overline{AD}}=\frac{4\sqrt{13}}{6\sqrt{13}}=\frac{2}{3}$$

STEP 5$\tan x+\tan y=\frac{5}{12}+\frac{8}{12}=\frac{13}{12}$이므로 $p=12$, $q=13$이고 $p+q=25$입니다.

정답: ③ 25

여기서 많이 틀려요 · ∠ADC는 직각삼각형의 각이 아니라서 바로 탄젠트를 구할 수 없습니다. MD = 13 = MA라는 점을 찾아 원을 떠올리는 것이 핵심입니다.

10번삼각비의 활용★★☆

핵심 개념 · 종이를 접으면 접힌 각이 같고, 평행선의 엇각이 같아 이등변삼각형

폭이 주어진 직사각형 모양의 종이를 한 선분을 따라 접었을 때 겹쳐진 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다.

이 문제는 접은 각과 평행선의 엇각으로 겹친 삼각형이 이등변삼각형임을 보이는 문제입니다.

STEP 1종이의 위쪽 변과 아래쪽 변은 평행하므로, 위쪽 변과 $\overline{AB}$가 이루는 각은 엇각인 $\angle ABC$와 같습니다. 또 접은 부분이므로 그 각은 $\angle BAC$와도 같습니다. 따라서 $\angle BAC=\angle ABC$이고 $\overline{CB}=\overline{CA}=8$ cm입니다.

STEP 2밑변 $\overline{CB}=8$ cm에 대한 높이는 종이의 폭 $4\sqrt{3}$ cm이므로 $$△ABC=\frac{1}{2}\times 8\times 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}{\text{(cm}}^2\text{)}$$

정답: ④ $16\sqrt{3}$ cm²

11번삼각비★★★

핵심 개념 · AM = a로 두면 AB = √3a, BM = MC = 2a

삼각형에서 한 변의 중점과 마주 보는 꼭짓점을 이은 선분이 만드는 각의 크기가 주어질 때, 두 밑각의 탄젠트 값의 합을 구하는 문제입니다.

이 문제는 30°·60° 직각삼각형의 변의 비로 길이를 정하고, 수선을 내려 각 C의 탄젠트를 구하는 문제입니다.

STEP 1$\overline{AM}=a$라 하면 직각삼각형 ABM에서 $\angle AMB=60^{\circ }$이므로 $\overline{BM}=2a$, $\overline{AB}=\sqrt{3}a$이고 $$\tan B=\frac{\overline{AM}}{\overline{AB}}=\frac{a}{\sqrt{3}a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

STEP 2M은 $\overline{BC}$의 중점이므로 $\overline{MC}=2a$입니다. 점 A에서 $\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 H라 하면 $\overline{AH}=a\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}a$, $\overline{MH}=a\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}a$이므로 $\overline{HC}=\frac{1}{2}a+2a=\frac{5}{2}a$입니다.

STEP 3$$\tan C=\frac{\overline{AH}}{\overline{HC}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a÷\frac{5}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{5}$$

STEP 4$$\tan B+\tan C=\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{5}=\frac{5\sqrt{3}+3\sqrt{3}}{15}=\frac{8\sqrt{3}}{15}$$

정답: ⑤ $\frac{8\sqrt{3}}{15}$

12번원과 직선★☆☆

핵심 개념 · 중심에서 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같고, 수선은 현을 이등분

원의 중심에서 두 현에 내린 수선의 길이가 같을 때, 항상 옳다고 할 수 없는 것을 고르는 문제입니다.

이 문제는 현의 수직이등분선과 '중심에서 같은 거리에 있는 현의 길이는 같다'는 성질을 쓰는 문제입니다.

STEP 1$\overline{OM}\perp \overline{AB}$, $\overline{ON}\perp \overline{CD}$이므로 M, N은 각 현의 중점이고, $\overline{OM}=\overline{ON}$이므로 $\overline{AB}=\overline{CD}$입니다. 따라서 $\overline{AM}=\overline{BM}=\overline{CN}=\overline{DN}=\frac{1}{2}\overline{AB}$입니다.

STEP 2① $\overline{BM}=\overline{CN}$ 옳음, ② $\overline{AB}=\overline{CD}$ 옳음, ④ $\overline{AB}=2\overline{CN}$ 옳음, ⑤ $\overline{OA}=\overline{OD}$(반지름), $\overline{OM}=\overline{ON}$, $\angle OMA=\angle OND=90^{\circ }$이므로 RHS 합동으로 옳음입니다.

STEP 3③ $\overline{OM}$(중심에서 현까지의 거리)과 $\overline{DN}$(현의 절반)은 서로 관계가 없어 항상 같다고 할 수 없습니다.

정답: ③ $\overline{OM}=\overline{DN}$

13번원과 직선★★☆

핵심 개념 · 접은 호가 중심을 지나면 중심에서 현까지의 거리는 반지름의 절반

원에서 호가 원의 중심을 지나도록 현을 따라 접었을 때, 그 현의 길이를 구하는 문제입니다.

이 문제는 접은 호가 원래 원과 같은 크기의 원 위에 있다는 점에서 중심에서 현까지의 거리를 구하는 문제입니다.

STEP 1원의 중심 O에서 $\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 M이라 합니다. 접기 전의 작은 호에서 $\overline{AB}$까지 가장 먼 점까지의 거리는 $8-\overline{OM}$이고, 접은 뒤 이 점이 중심 O에 오므로 $8-\overline{OM}=\overline{OM}$, 즉 $\overline{OM}=4$ cm입니다.

STEP 2직각삼각형 OAM에서 $$\overline{AM}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\text{(cm)}$$

STEP 3중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분하므로 $\overline{AB}=2\times 4\sqrt{3}=8\sqrt{3}$ cm입니다.

정답: ⑤ $8\sqrt{3}$ cm

14번원주각★☆☆

핵심 개념 · 원주각은 중심각의 절반, 지름에 대한 원주각은 90°, 같은 호의 원주각은 같다

원 그림 다섯 개에서 각각 표시된 각의 크기를 구해 가장 작은 것을 고르는 문제입니다.

이 문제는 원주각의 기본 성질 세 가지를 그림마다 알맞게 적용하는 문제입니다.

STEP 1①: $\overline{AB}$는 지름이고 $\overline{OP}=\overline{OA}$이므로 $\angle OPA=70^{\circ }$, 지름에 대한 원주각 $\angle APB=90^{\circ }$이므로 $\angle x=90^{\circ }-70^{\circ }=20^{\circ }$

STEP 2②: $\angle x$는 50°인 원주각과 같은 호에 대한 중심각이므로 $\angle x=2\times 50^{\circ }=100^{\circ }$ / ③: 지름에 대한 원주각이 90°이므로 $\angle x=90^{\circ }-35^{\circ }=55^{\circ }$

STEP 3④: 길이가 같은 호에 대한 원주각의 크기는 같으므로 $\angle x=30^{\circ }$ / ⑤: 같은 호에 대한 원주각이므로 $\angle x=36^{\circ }$

STEP 420°, 100°, 55°, 30°, 36° 중 가장 작은 것은 ①의 20°입니다.

정답: ①

15번원주각★★☆

핵심 개념 · 같은 호에 대한 원주각은 같고, 삼각형의 외각은 이웃하지 않는 두 내각의 합

원 위의 네 점으로 만든 두 현이 원 안에서 만날 때, 주어진 두 원주각을 이용해 표시된 두 각의 크기의 합을 구하는 문제입니다.

이 문제는 같은 호에 대한 원주각으로 x를 구하고, 두 현의 교점에서 생기는 각으로 y를 구하는 문제입니다.

STEP 1그림에서 $\angle x=\angle BDC$입니다. $\angle BDC$와 $\angle BAC$는 같은 호 BC에 대한 원주각이므로 $\angle x=45^{\circ }$입니다.

STEP 2두 현 AC, BD의 교점을 P라 하면 $\angle y=\angle APD$입니다. 삼각형 PDC에서 $\angle APD$는 외각이므로 $$\angle y=\angle PDC+\angle PCD=45^{\circ }+60^{\circ }=105^{\circ }$$

STEP 3$\angle x+\angle y=45^{\circ }+105^{\circ }=150^{\circ }$

정답: ④ 150°

여기서 많이 틀려요 · y는 교점 P에서 위쪽(∠APD)에 있는 각입니다. 삼각형 PDC의 내각 75°를 y로 착각하면 120°가 나오는데, 이 값은 보기에 없습니다.

16번원주각★★☆

핵심 개념 · 지름 BA'을 그으면 ∠A' = ∠A, ∠BCA' = 90°

반지름의 길이가 주어진 원에 내접하는 삼각형에서 한 변의 길이가 주어질 때, 그 변의 맞은편 각의 사인 값을 구하는 문제입니다.

이 문제는 지름을 한 변으로 하는 직각삼각형을 새로 만들어 사인 값을 구하는 문제입니다.

STEP 1점 B에서 중심 O를 지나는 지름 $\overline{B{A}^{\prime }}$을 긋습니다(A'은 원 위의 점). $\angle B{A}^{\prime }C$와 $\angle BAC$는 같은 호 BC에 대한 원주각이므로 $\angle B{A}^{\prime }C=\angle A$입니다.

STEP 2$\overline{B{A}^{\prime }}$은 지름이므로 $\angle BC{A}^{\prime }=90^{\circ }$이고 $\overline{B{A}^{\prime }}=10$ cm입니다.

STEP 3직각삼각형 $B{A}^{\prime }C$에서 $$\sin A=\sin (\angle B{A}^{\prime }C)=\frac{\overline{BC}}{\overline{B{A}^{\prime }}}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$$

정답: ⑤ $\frac{4}{5}$

17번원주각★★☆

핵심 개념 · 원주각의 2배인 중심각과 접선 ⊥ 반지름

원 밖의 한 점에서 그은 두 접선과 원 위의 한 점이 만드는 원주각이 주어질 때, 두 접선이 이루는 각의 크기를 구하는 문제입니다.

이 문제는 원주각으로 중심각을 구하고, 접선과 반지름이 수직임을 이용해 사각형의 내각의 합으로 푸는 문제입니다.

STEP 1원의 중심을 O라 하면 $\angle AOB$는 $\angle ACB$와 같은 호 AB에 대한 중심각이므로 $\angle AOB=2\times 65^{\circ }=130^{\circ }$입니다.

STEP 2접선은 접점을 지나는 반지름에 수직이므로 $\angle OAP=\angle OBP=90^{\circ }$입니다.

STEP 3사각형 PAOB의 내각의 합은 360°이므로 $$\angle BPA=360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }-130^{\circ }=50^{\circ }$$

정답: ① 50°

18번원주각★★☆

핵심 개념 · 보조선 BD를 그어 원에 내접하는 사각형 ABDE를 만든다

원 위의 다섯 점으로 만든 그림에서 두 각의 크기가 주어질 때, 중심각의 크기를 구하는 문제입니다.

이 문제는 보조선을 그어 원에 내접하는 사각형을 만들고, 원주각과 중심각의 관계를 쓰는 문제입니다.

STEP 1보조선 $\overline{BD}$를 긋습니다. 사각형 ABDE는 원에 내접하므로 마주 보는 두 각의 합이 180°입니다. $$\angle BDE=180^{\circ }-116^{\circ }=64^{\circ }$$

STEP 2$\angle CDE=98^{\circ }$이므로 $\angle BDC=98^{\circ }-64^{\circ }=34^{\circ }$입니다.

STEP 3$\angle BOC$는 $\angle BDC$와 같은 호 BC에 대한 중심각이므로 $x^{\circ }=2\times 34^{\circ }=68^{\circ }$, 즉 $x=68$입니다.

정답: ① 68

19번원과 직선★★☆

핵심 개념 · 꼭짓점에서 내접원까지의 두 접선의 길이는 같다 → 이등변삼각형

삼각형의 내접원 위의 세 접점으로 만든 삼각형에서, 꼭짓점의 각과 접점 삼각형의 한 각이 주어질 때 다른 한 각의 크기를 구하는 문제입니다.

이 문제는 접선의 길이가 같아서 생기는 이등변삼각형과, 원주각·중심각의 관계를 함께 쓰는 문제입니다.

STEP 1$\overline{AD}=\overline{AF}$(접선의 길이)이므로 삼각형 ADF는 이등변삼각형이고 $$\angle ADF=\frac{180^{\circ }-46^{\circ }}{2}=67^{\circ }$$

STEP 2$\angle DOE$는 $\angle DFE$와 같은 호 DE에 대한 중심각이므로 $\angle DOE=104^{\circ }$입니다. 사각형 DBEO에서 $\angle ODB=\angle OEB=90^{\circ }$이므로 $\angle B=360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }-104^{\circ }=76^{\circ }$입니다.

STEP 3$\overline{BD}=\overline{BE}$이므로 $\angle BDE=\frac{180^{\circ }-76^{\circ }}{2}=52^{\circ }$입니다.

STEP 4점 D에서 $\angle ADF+\angle FDE+\angle BDE=180^{\circ }$이므로 $x^{\circ }=\angle FDE=180^{\circ }-67^{\circ }-52^{\circ }=61^{\circ }$, 즉 $x=61$입니다.

정답: ③ 61

20번원주각★★☆

핵심 개념 · ∠APB > 90°인 점 P는 AB를 지름으로 하는 원의 안쪽

정사각형 내부의 한 점과 한 변의 두 끝점으로 둔각삼각형을 만들 때, 이 조건을 만족하는 점이 있는 영역의 넓이를 구하는 문제입니다.

이 문제는 지름에 대한 원주각이 90°라는 성질로 둔각이 되는 점의 범위를 찾는 문제입니다.

STEP 1점 P가 정사각형 내부에 있으면 $\angle PAB<90^{\circ }$, $\angle PBA<90^{\circ }$이므로, 둔각이 될 수 있는 각은 $\angle APB$뿐입니다.

STEP 2$\overline{AB}$를 지름으로 하는 원 위의 점에서는 $\angle APB=90^{\circ }$이고, 원의 안쪽이면 90°보다 크고 바깥쪽이면 작습니다. 따라서 P는 $\overline{AB}$를 지름으로 하는 반원의 내부에 있어야 합니다.

STEP 3반지름이 5 cm인 반원이 정사각형 안에 들어가므로 넓이는 $$\frac{1}{2}\times \pi \times 5^2=\frac{25}{2}\pi {\text{(cm}}^2\text{)}$$

정답: ② $\frac{25}{2}\pi$ cm²

여기서 많이 틀려요 · 세 각 중 어느 각이 둔각이 될 수 있는지부터 따져야 합니다. 정사각형 안에서는 A, B의 각이 90°를 넘을 수 없어서 P의 각만 보면 됩니다.

21번원과 직선★★☆

핵심 개념 · 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다

원이 내접하는 사각형에서 두 변의 길이가 주어질 때, 나머지 한 변의 길이를 구하는 문제입니다. (그림에서 두 꼭짓점 A, B의 각은 직각입니다.)

이 문제는 접선의 길이를 미지수로 두고, 수선을 그어 만든 직각삼각형에서 피타고라스 정리를 쓰는 문제입니다.

STEP 1$\angle A=\angle B=90^{\circ }$이므로 $\overline{AD}\parallel \overline{BC}$이고, 원은 두 평행선에 접하므로 지름이 $\overline{AB}=6$ cm, 반지름이 3 cm입니다. 꼭짓점 A, B에서 원까지의 접선의 길이는 각각 3 cm입니다.

STEP 2D에서의 접선의 길이는 $9-3=6$ cm입니다. C에서의 접선의 길이를 $t$라 하면 $\overline{CD}=6+t$, $\overline{BC}=3+t$입니다.

STEP 3점 C에서 $\overline{AD}$에 내린 수선의 발을 H라 하면 $\overline{CH}=6$, $\overline{HD}=9-(3+t)=6-t$이므로 $$(6+t{)}^2=6^2+(6-t{)}^2,24t=36,t=\frac{3}{2}$$

STEP 4$\overline{CD}=6+\frac{3}{2}=\frac{15}{2}$ cm입니다. (검산: $\overline{AB}+\overline{CD}=6+\frac{15}{2}=\frac{27}{2}$, $\overline{AD}+\overline{BC}=9+\frac{9}{2}=\frac{27}{2}$)

정답: ④ $\frac{15}{2}$ cm

22번원주각★★☆

핵심 개념 · 선분의 같은 쪽 두 각이 같거나, 대각의 합이 180°이면 네 점은 한 원 위에

네 점과 몇 개의 각이 표시된 그림 다섯 개 중, 네 점이 한 원 위에 있지 않은 것을 고르는 문제입니다.

이 문제는 네 점이 한 원 위에 있을 조건(같은 쪽에서 바라본 각이 같다)을 그림마다 확인하는 문제입니다.

STEP 1①: $\angle BAC=\angle BDC=90^{\circ }$이므로 한 원 위에 있습니다. ③: $\angle BAC=\angle BDC=70^{\circ }$이므로 한 원 위에 있습니다.

STEP 2②: 두 선분의 교점을 P라 하면 $\angle DPC=180^{\circ }-95^{\circ }=85^{\circ }$, 삼각형 PDC에서 $\angle BDC=180^{\circ }-85^{\circ }-20^{\circ }=75^{\circ }=\angle BAC$이므로 한 원 위에 있습니다.

STEP 3④: 삼각형 ADC에서 $\angle DAC=180^{\circ }-75^{\circ }-40^{\circ }=65^{\circ }=\angle DBC$이므로 한 원 위에 있습니다.

STEP 4⑤: 두 선분의 교점을 P라 하면 $\angle DPC=90^{\circ }$이므로 삼각형 PDC에서 $\angle ACD=180^{\circ }-90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$이고, $\angle ABD=35^{\circ }$와 같지 않습니다. 따라서 ⑤의 네 점은 한 원 위에 있지 않습니다.

정답: ⑤

23번원주각★★★

핵심 개념 · QA = QB이면 ∠QAB = ∠QBA = 45°, 같은 호의 원주각 ∠APQ = ∠BPQ = 45°

지름을 한 변으로 하는 원에 내접하는 사각형에서 두 변의 길이와 다른 두 변이 같다는 조건이 주어질 때, 사각형 안의 한 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다.

이 문제는 지름에 대한 원주각과 같은 호에 대한 원주각으로 45° 각을 찾고, 사각형의 넓이를 두 가지 방법으로 나누어 방정식을 세우는 문제입니다.

STEP 1$\overline{AB}$는 지름이므로 $\angle APB=\angle AQB=90^{\circ }$이고 ${\overline{AB}}^2=8^2+4^2=80$입니다. $\overline{QA}=\overline{QB}$이므로 ${\overline{QA}}^2={\overline{QB}}^2=40$이고 $\angle QAB=\angle QBA=45^{\circ }$입니다.

STEP 2$\angle BPQ=\angle BAQ=45^{\circ }$(호 BQ에 대한 원주각), $\angle APQ=\angle ABQ=45^{\circ }$(호 AQ에 대한 원주각)입니다.

STEP 3사각형 AQBP의 넓이는 $△APB+△AQB=\frac{1}{2}\times 8\times 4+\frac{1}{2}\times 40=36$입니다. $\overline{PQ}=k$라 하면 같은 넓이를 $△APQ+△BPQ$로 나타내어 $$\frac{1}{2}\times 8\times k\times \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\times 4\times k\times \frac{\sqrt{2}}{2}=36,3\sqrt{2}k=36,k=6\sqrt{2}$$

STEP 4$$△BPQ=\frac{1}{2}\times 4\times 6\sqrt{2}\times \sin 45^{\circ }=\frac{1}{2}\times 4\times 6\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=12{\text{(cm}}^2\text{)}$$

정답: ② 12 cm²

24번원과 직선★★☆

핵심 개념 · 내접원의 반지름 r: (8 − r) + (15 − r) = 17

직각삼각형의 내접원에 접하는 선분을 그어 만든 작은 삼각형의 둘레의 길이를 구하는 문제입니다.

이 문제는 내접원의 반지름을 구한 뒤, 접선의 길이가 같다는 성질로 작은 삼각형의 둘레를 접선 두 개의 합으로 바꾸는 문제입니다.

STEP 1$\overline{AB}=\sqrt{8^2+15^2}=17$ cm입니다. 내접원의 반지름을 $r$이라 하면 꼭짓점 C에서의 접선의 길이가 $r$이므로 $$(8-r)+(15-r)=17,r=3$$

STEP 2꼭짓점 B에서 내접원까지의 접선의 길이는 $15-3=12$ cm입니다. 변 AB, BC 위의 접점을 각각 E, F라 하면 $\overline{BE}=\overline{BF}=12$ cm입니다.

STEP 3$\overline{PQ}$와 원의 접점을 T라 하면 $\overline{PT}=\overline{PE}$, $\overline{QT}=\overline{QF}$입니다.

STEP 4$$\overline{BP}+\overline{PQ}+\overline{QB}=(\overline{BP}+\overline{PE})+(\overline{QF}+\overline{QB})=\overline{BE}+\overline{BF}=24\text{(cm)}$$

정답: ④ 24 cm

25번원주각★★★

핵심 개념 · ∠APB가 일정한 점 P의 자취는 원의 호(원주각) — 45°의 호와 90°의 원 사이

두 점과 움직이는 점이 이루는 각의 크기가 일정한 범위에 있을 때, 움직이는 점이 나타내는 영역의 넓이를 구하는 문제입니다.

이 문제는 원주각이 일정한 점들이 원의 호 위에 있다는 성질로 영역의 경계를 찾는 문제입니다.

STEP 1$\angle APB=90^{\circ }$인 점 P는 $\overline{AB}$를 지름으로 하는 원(반지름 4) 위에 있고, 이 원의 안쪽이면 90°보다 큽니다.

STEP 2$\angle APB=45^{\circ }$인 점 P는 중심각 $\angle A{O}^{\prime }B=90^{\circ }$인 원 O′의 큰 호 위에 있습니다. 반지름을 $R$이라 하면 직각이등변삼각형 $A{O}^{\prime }B$에서 $R^2+R^2=8^2$, $R^2=32$입니다. 이 호보다 안쪽이면 45°보다 큽니다. 이런 원은 $\overline{AB}$의 양쪽에 하나씩 있습니다.

STEP 3한쪽의 큰 호와 $\overline{AB}$로 둘러싸인 부분의 넓이는 (원의 $\frac{3}{4}$) + $△A{O}^{\prime }B$이므로 $$\frac{3}{4}\times 32\pi +\frac{1}{2}\times 32=24\pi +16$$

STEP 4양쪽을 합하면 $48\pi +32$이고, 여기서 90°보다 큰 부분인 지름 $\overline{AB}$의 원의 넓이 $16\pi$를 빼면 $$48\pi +32-16\pi =32\pi +32$$

STEP 5$a=32$, $b=32$이므로 $a+b=64$입니다.

정답: ⑤ 64

여기서 많이 틀려요 · P는 직선 AB의 위쪽과 아래쪽 어디에나 있을 수 있습니다. 한쪽만 계산하면 절반 넓이가 나와 답이 달라집니다.

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2026년 예송중 3학년 2학기 기말고사, 이렇게 준비하세요

첫째, 삼각비 활용 문제는 '수선을 어디에 내릴지'부터 정하는 연습을 하세요. 이번 5·6·11번은 모두 수선 하나로 30°, 45°, 60° 직각삼각형이 생기면서 풀렸습니다. 사인법칙 같은 고등학교 공식이 없어도, 높이를 미지수로 두고 식을 세우면 충분합니다.

둘째, 넓이 공식에서 끼인각이 둔각일 때를 따로 정리해 두세요. 3번과 8번 ㄹ처럼 180°에서 뺀 각의 사인을 쓰는 상황은 해마다 함정으로 나옵니다.

셋째, 원 문제는 '같은 호에 대한 원주각', '지름에 대한 원주각 90°', '접선의 길이는 같다' 세 가지를 그림에 직접 표시하며 푸는 습관을 들이세요. 특히 9번이나 25번처럼 원이 그려져 있지 않은 문제에서도, 직각이나 일정한 각이 보이면 원을 떠올리는 연습이 필요합니다.

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풀이 중 이해가 안 되는 단계가 있거나, 다른 방법으로 푼 풀이가 맞는지 궁금하다면 댓글로 남겨 주세요. 확인하는 대로 답글 드리겠습니다. 인천 연수구 다른 학교의 기출 해설도 차례로 올리겠습니다.

일등급솔루션학원 · 좋은 습관은 인생을 바꾼다
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