연성중 3학년 2학기 기말고사 수학 기출 해설 (2024) | 전 문항 풀이

수학 독립만세입니다.

이번 글은 연성중학교 3학년 2024학년도 2학기 기말고사 수학 해설입니다. 삼각비에서 시작해 원과 직선, 원주각을 지나 대푯값까지, 3학년 2학기에 배우는 단원이 모두 나온 시험입니다. 2026년 기말고사를 앞둔 연성중 3학년 학생이 시험 범위 전체를 한 번에 점검하기에 알맞습니다.

문항별 단원과 핵심 개념, 배점 기준 난이도를 먼저 표로 정리했습니다. 표의 번호를 누르면 그 문항의 풀이로 바로 넘어갑니다. 풀이는 그림에서 직각삼각형과 같은 각을 어떻게 찾는지에 초점을 맞췄고, 실수가 잦은 여섯 문항에는 주의할 점을 따로 붙였습니다.

학교 시험지 원문은 저작권 보호 대상이라 이 글에 싣지 않았습니다. 대신 각 문항이 무엇을 묻는지 짧게 요약하고, 풀이는 단계별로 모두 적었습니다. 어떤 개념을 어떤 순서로 써야 답이 나오는지는 이 글로 충분히 확인하실 수 있습니다.

연성중학교 기출문제를 먼저 풀어보고 싶다면

해설을 먼저 읽으면 다 아는 것 같아도, 시험지를 직접 풀어 보면 막히는 곳이 따로 나옵니다. 아래 글에서 기출문제를 무료로 보는 방법을 확인해 먼저 풀어 보시고, 다 푼 뒤 이 페이지로 돌아와 채점과 풀이를 확인해 보세요.

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연성중 3학년 2학기 기말고사(2024) 문항별 단원·난이도 한눈에 보기

번호	단원	핵심 개념	난이도 (배점 기준)
1	삼각비	삼각비는 (각의 대변 또는 이웃변) ÷ (빗변)이고, 닮은 직각삼각형에서는 값이 같다	★★☆
2	삼각비	코사인 값으로 밑변을 정하고 피타고라스 정리로 나머지 변을 구한다	★★☆
3	삼각비	코사인 값에 맞는 직각삼각형을 그리면 나머지 삼각비가 모두 나온다	★★☆
4	삼각비	접은 각과 엇각이 같아 이등변삼각형이 생긴다	★★☆
5	삼각비	30°, 45°, 60°의 삼각비 값	★★☆
6	삼각비	45°인 각에서 수선을 내리면 직각이등변삼각형이 생긴다	★★★
7	삼각비	반지름 1인 사분원에서는 선분의 길이가 곧 삼각비 값	★★☆
8	삼각비	45°보다 큰 각에서는 탄젠트가 1보다 크고 사인은 1보다 작다	★★☆
9	삼각비	넓이 = ½ × 두 변 × (끼인각의 사인)	★☆☆
10	삼각비	평행선의 엇각으로 땅과 이루는 각을 찾고 탄젠트로 거리를 구한다	★★☆
11	삼각비	두 직각삼각형으로 점의 위치를 구하고, 닮음으로 높이를 구한다	★★★
12	삼각비	끼인각이 30°이면 수선을 그어 직각삼각형 두 개로 나눈다	★★☆
13	원과 직선	현의 수직이등분선은 원의 중심을 지난다	★★☆
14	원과 직선	길이가 같은 두 현은 중심으로부터 같은 거리에 있다	★☆☆
15	원과 직선	원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다	★★★
16	원과 직선	원에 외접하는 사각형은 마주 보는 두 변의 길이의 합이 같다	★★☆
17	원주각	중심각은 같은 호에 대한 원주각의 2배	★☆☆
18	원주각	원주각의 크기는 호의 길이에 정비례한다	★★☆
19	원주각	원주각 60° → 중심각 120°인 이등변삼각형	★★☆
20	원주각	원에 내접하는 사각형의 대각의 합은 180°	★★☆
21	원주각	접선과 현이 이루는 각은 그 각 안의 호에 대한 원주각과 같다	★★★
22	원주각	접선과 현이 이루는 각 + 삼각형의 외각	★★☆
23	대푯값	중앙값은 크기순으로 나열한 뒤 가운데 값	★☆☆
24	대푯값	평균으로 두 수의 합을, 중앙값으로 한 수를 정한다	★★☆
25	대푯값	가장 많이 팔린 크기를 알려면 최빈값	★★☆

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연성중 3학년 2024 2학기 기말고사 수학의 출제 흐름

25문항 가운데 1~12번이 삼각비, 13~16번이 원과 직선, 17~22번이 원주각, 23~25번이 대푯값입니다. 삼각비가 절반 가까이를 차지했고, 그 안에서도 삼각비의 뜻(1~4번), 특수각의 값(5·6번), 그림 속 선분으로 읽는 삼각비 값(7·8번), 넓이와 길이 구하기(9~12번)가 고르게 나왔습니다.

5점 문항은 6·11·15·21번입니다. 6번은 45°인 각에서 수선을 하나 내려 직각이등변삼각형을 만들어야 풀렸고, 11번은 두 직각삼각형으로 점의 위치를 먼저 구한 뒤 닮음으로 높이를 구해야 했습니다. 15번은 넓이의 비를 접선의 길이의 비로 바꾸는 것이 열쇠였고, 21번은 그림에 적힌 55°를 접선과 현이 이루는 각으로 읽어 원주각과 호의 길이로 이어 가야 했습니다. 네 문항 모두 공식 하나보다 그림에서 어느 삼각형을 볼지가 먼저였습니다.

수원 화성의 총안(10번), 터널(12번), 깨진 접시(13번), 호숫가 산책로(16번), 원형 극장(19번), 신발 가게(25번)처럼 생활 장면을 소재로 한 문항이 많았던 것도 특징입니다. 문장을 읽고 직각삼각형이나 원의 성질로 옮기는 연습이 되어 있었는지를 함께 본 시험입니다.

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연성중 3학년 2학기 기말고사(2024) 전 문항 단계별 풀이

1번삼각비★★☆

핵심 개념 · 삼각비는 (각의 대변 또는 이웃변) ÷ (빗변)이고, 닮은 직각삼각형에서는 값이 같다

∠A를 공통으로 하는 여러 개의 직각삼각형에 대하여, 삼각비에 대한 설명 중 옳지 않은 것을 고르는 문제입니다.

세 직각삼각형은 ∠A를 공통으로 갖고 모두 C 쪽 꼭짓점이 직각이므로 AA 닮음입니다. 삼각비는 삼각형의 크기와 관계없이 각의 크기로만 정해진다는 점이 핵심입니다.

STEP 1△ABC에서 ∠C=90°이므로 빗변은 $\overline{AB}$입니다. $\sin A=\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}$이므로 ①은 옳습니다.

STEP 2∠B의 대변은 $\overline{AC}$이고 빗변은 $\overline{AB}$이므로 $\sin B=\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}$입니다. ②는 분모에 빗변이 아닌 $\overline{BC}$를 썼으므로 옳지 않습니다.

STEP 3△AB₁C₁ ∽ △ABC이므로 ∠B₁=∠B이고, $\cos B_1=\frac{\overline{B_1{C}_1}}{\overline{A{B}_1}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}$입니다. 따라서 ③은 옳습니다.

STEP 4④의 각 비는 모두 $\cos A$이므로 같고, ⑤는 닮음에서 ∠B=∠B₁=∠B₂이므로 탄젠트 값도 같습니다. 둘 다 옳습니다.

정답: ② $\sin B=\frac{\overline{AC}}{\overline{BC}}$

여기서 많이 틀려요 · sin B를 쓸 때 기준 각이 B로 바뀌므로 대변도 $\overline{AC}$로 바뀝니다. 분모는 언제나 빗변 $\overline{AB}$입니다. ②처럼 분모에 $\overline{BC}$를 쓰면 틀린 식입니다.

2번삼각비★★☆

핵심 개념 · 코사인 값으로 밑변을 정하고 피타고라스 정리로 나머지 변을 구한다

빗변의 길이와 한 예각의 코사인 값이 주어진 직각삼각형에서, 다른 예각의 코사인 값을 구하는 문제입니다.

그림에서 ∠C=90°, 빗변 $\overline{AB}=6$입니다. 코사인 값으로 밑변을 구하고 피타고라스 정리로 나머지 변을 구합니다.

STEP 1$\cos A=\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{AC}}{6}=\frac{2}{3}$이므로 $\overline{AC}=4$입니다.

STEP 2피타고라스 정리에 의해 $\overline{BC}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$입니다.

STEP 3$\cos B=\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=\frac{2\sqrt{5}}{6}=\frac{\sqrt{5}}{3}$입니다. (확인: $\cos B=\sin A$이고 ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=\frac{5}{9}+\frac{4}{9}=1$)

정답: ⑤ $\frac{\sqrt{5}}{3}$

3번삼각비★★☆

핵심 개념 · 코사인 값에 맞는 직각삼각형을 그리면 나머지 삼각비가 모두 나온다

이차방정식의 두 근의 합으로 한 예각의 코사인 값이 정해질 때, 그 각의 사인 값과 탄젠트 값의 곱을 구하는 문제입니다.

이차방정식을 인수분해해 두 근을 구하고, 코사인 값에 맞는 직각삼각형을 그려 나머지 삼각비를 구합니다.

STEP 1$5x^2-4x-1=(5x+1)(x-1)=0$이므로 두 근은 $x=1$, $x=-\frac{1}{5}$이고, 두 근의 합은 $1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$입니다. 따라서 $\cos A=\frac{4}{5}$입니다.

STEP 2빗변이 5, 밑변이 4인 직각삼각형을 생각하면 높이는 $\sqrt{5^2-4^2}=3$입니다. 따라서 $\sin A=\frac{3}{5}$, $\tan A=\frac{3}{4}$입니다.

STEP 3$\sin A\times \tan A=\frac{3}{5}\times \frac{3}{4}=\frac{9}{20}$입니다.

정답: ⑤ $\frac{9}{20}$

4번삼각비★★☆

핵심 개념 · 접은 각과 엇각이 같아 이등변삼각형이 생긴다

직사각형 모양의 종이를 접어 한 꼭짓점이 아랫변 위에 오게 했을 때, 접는 선과 접힌 변이 이루는 각의 탄젠트 값을 구하는 문제입니다.

$\angle x=\angle FEG$(꼭짓점 E, 접는 선 EF와 선분 EG 사이의 각)입니다. 접은 도형은 접기 전과 합동이라는 점과 평행선의 엇각을 이용합니다.

STEP 1점 D가 점 G로 접혔으므로 $\overline{EG}=\overline{ED}=6\text{ cm}$이고, $\angle GEF=\angle DEF$입니다.

STEP 2$\overline{AD}\parallel \overline{BC}$이므로 $\angle DEF=\angle EFG$(엇각)입니다. 따라서 $\angle GEF=\angle GFE$이고, △GEF는 $\overline{GF}=\overline{GE}=6\text{ cm}$인 이등변삼각형입니다.

STEP 3점 E에서 $\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 I라 하면 $\overline{EI}=2\sqrt{5}\text{ cm}$이고, △EGI에서 $\overline{GI}=\sqrt{6^2-(2\sqrt{5}{)}^2}=\sqrt{16}=4\text{ cm}$입니다. 따라서 $\overline{IF}=6-4=2\text{ cm}$입니다.

STEP 4$\angle x=\angle FEG=\angle EFG=\angle EFI$이므로 직각삼각형 EIF에서 $\tan x^{\circ }=\frac{\overline{EI}}{\overline{IF}}=\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$입니다.

정답: ① $\sqrt{5}$

5번삼각비★★☆

핵심 개념 · 30°, 45°, 60°의 삼각비 값

특수각의 삼각비 값을 이용해 식의 값을 계산하는 문제입니다.

$30^{\circ }$, $45^{\circ }$, $60^{\circ }$의 삼각비 값을 정확히 기억하고 있는지 확인하는 문제입니다.

STEP 1$\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\tan 45^{\circ }=1$입니다.

STEP 2괄호 안은 $\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}+1=\sqrt{3}+1$입니다.

STEP 3$\frac{1}{2}\times (\sqrt{3}+1)=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$입니다.

정답: ④ $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$

6번삼각비★★★

핵심 개념 · 45°인 각에서 수선을 내리면 직각이등변삼각형이 생긴다

밑변을 공유하는 두 직각삼각형이 겹쳐 있을 때, 두 빗변(대각선)의 교점까지의 길이를 구하는 문제입니다.

점 E는 $\overline{AC}$와 $\overline{BD}$의 교점입니다. ∠DBC=45°이므로 점 E에서 $\overline{BC}$에 수선을 내리면 직각이등변삼각형이 생깁니다.

STEP 1△ABC에서 ∠BAC=60°이므로 ∠ACB=30°입니다. $\tan 60^{\circ }=\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}$에서 $\overline{AB}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$이고, $\overline{AC}=2\overline{AB}=4\sqrt{3}$입니다.

STEP 2점 E에서 $\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 H라 하고 $\overline{EH}=k$라 합니다. ∠EBH=45°이므로 $\overline{BH}=k$입니다.

STEP 3△EHC에서 ∠ECH=30°이므로 $\tan 30^{\circ }=\frac{k}{\overline{HC}}$, 즉 $\overline{HC}=\sqrt{3}k$입니다. $\overline{BH}+\overline{HC}=6$에서 $(1+\sqrt{3})k=6$, $k=\frac{6}{1+\sqrt{3}}=3\sqrt{3}-3$입니다.

STEP 4$\overline{EC}=2\overline{EH}=6\sqrt{3}-6$이므로 $\overline{AE}=\overline{AC}-\overline{EC}=4\sqrt{3}-(6\sqrt{3}-6)=6-2\sqrt{3}$입니다. (주의: ①의 $6\sqrt{3}-6$은 $\overline{EC}$의 길이입니다.)

정답: ④ $-2\sqrt{3}+6$

여기서 많이 틀려요 · STEP 3까지 구한 $\overline{EC}=6\sqrt{3}-6$이 ①에 그대로 있습니다. 구하는 것은 $\overline{AE}$이므로 $\overline{AC}$에서 빼는 단계를 꼭 거치세요.

7번삼각비★★☆

핵심 개념 · 반지름 1인 사분원에서는 선분의 길이가 곧 삼각비 값

반지름의 길이가 1인 사분원 그림에 표시된 길이를 이용해, 두 삼각비 값의 합을 구하는 문제입니다.

반지름이 1이면 빗변이 1인 직각삼각형의 변의 길이가 곧 삼각비 값이 됩니다. 어느 각이 어느 삼각형에 있는지를 먼저 확인합니다.

STEP 1△AOB에서 ∠AOB=57°, ∠ABO=90°이므로 ∠OAB=33°입니다. $\sin 33^{\circ }=\frac{\overline{OB}}{\overline{OA}}=\frac{0.5446}{1}=0.5446$입니다.

STEP 2△DOC에서 ∠DOC=57°, ∠DCO=90°, $\overline{OC}=1$이므로 $\tan 57^{\circ }=\frac{\overline{CD}}{\overline{OC}}=1.5399$입니다.

STEP 3$\sin 33^{\circ }+\tan 57^{\circ }=0.5446+1.5399=2.0845$입니다. (주의: $\sin 57^{\circ }=0.8387$과 혼동하면 ②를 고르게 됩니다.)

정답: ③ $2.0845$

여기서 많이 틀려요 · 그림에 0.8387도 적혀 있지만 이것은 $\sin 57^{\circ }$(점 A의 높이)입니다. 33°는 점 A에 있는 각이므로 $\sin 33^{\circ }$는 $\overline{OB}$입니다.

8번삼각비★★☆

핵심 개념 · 45°보다 큰 각에서는 탄젠트가 1보다 크고 사인은 1보다 작다

각의 크기의 범위가 주어질 때, 사인과 탄젠트가 들어 있는 제곱근 식을 간단히 하는 문제입니다.

$\sqrt{a^2}$은 $a\ge 0$이면 $a$, $a<0$이면 $-a$입니다. 따라서 $\sin x$와 $\tan x$의 크기 비교가 핵심입니다.

STEP 1$45^{\circ }<x<90^{\circ }$이면 $\tan x>\tan 45^{\circ }=1$이고, $\sin x<1$이므로 $\sin x<\tan x$입니다.

STEP 2$\sin x-\tan x<0$이므로 $\sqrt{(\sin x-\tan x{)}^2}=\tan x-\sin x$이고, $\tan x-\sin x>0$이므로 $\sqrt{(\tan x-\sin x{)}^2}=\tan x-\sin x$입니다.

STEP 3두 식을 더하면 $2\tan x-2\sin x=-2\sin x+2\tan x$입니다. (확인: $x=60^{\circ }$이면 원래 식은 $2(\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2})=\sqrt{3}$, 답의 식도 $-\sqrt{3}+2\sqrt{3}=\sqrt{3}$)

정답: ⑤ $-2\sin x+2\tan x$

여기서 많이 틀려요 · $\sqrt{(\sin x-\tan x{)}^2}$을 그대로 $\sin x-\tan x$로 벗기면 답이 0이 되어 ①을 고르게 됩니다. 제곱근을 벗길 때는 부호부터 확인하세요.

9번삼각비★☆☆

핵심 개념 · 넓이 = ½ × 두 변 × (끼인각의 사인)

두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어진 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다.

끼인각이 60°이므로 꼭짓점 A에서 $\overline{BC}$에 수선을 그어 높이를 사인으로 구합니다.

STEP 1점 A에서 $\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 H라 하면 $\overline{AH}=6\sin 60^{\circ }=6\times \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{ cm}$입니다.

STEP 2넓이는 $\frac{1}{2}\times 15\times 3\sqrt{3}=\frac{45\sqrt{3}}{2}{\text{ cm}}^2$입니다.

정답: ② $\frac{45\sqrt{3}}{2}$

10번삼각비★★☆

핵심 개념 · 평행선의 엇각으로 땅과 이루는 각을 찾고 탄젠트로 거리를 구한다

성벽의 총구에서 수평 방향과 일정한 각을 이루며 아래로 쏜 총알이 땅에 닿는 지점까지의 거리를, 주어진 삼각비 표로 구하는 문제입니다.

총구를 P, 총구 바로 아래 지면의 점을 Q, 총알이 떨어진 지점을 R이라 합니다. 수평선과 지면은 평행하므로 총알 경로가 지면과 이루는 각도 38°(엇각)입니다.

STEP 1직각삼각형 PQR에서 $\overline{PQ}=6\text{ m}$, ∠PQR=90°, ∠PRQ=38°입니다.

STEP 2$\tan 38^{\circ }=\frac{\overline{PQ}}{\overline{QR}}$이므로 $\overline{QR}=\frac{6}{0.7813}=7.679\cdots \text{ m}$입니다.

STEP 3다른 방법으로 확인: ∠QPR=52°이므로 $\overline{QR}=6\tan 52^{\circ }=6\times 1.2799=7.6794\text{ m}$입니다. 소수점 아래 둘째 자리에서 반올림하면 7.7 m입니다.

정답: ② $7.7$

11번삼각비★★★

핵심 개념 · 두 직각삼각형으로 점의 위치를 구하고, 닮음으로 높이를 구한다

부채꼴의 호 위의 한 점과 중심을 이은 선분 위에 점을 잡아, 주어진 삼각형의 넓이가 되도록 하는 선분의 길이를 구하는 문제입니다.

점 C의 위치($\overline{OH}$, $\overline{CH}$)를 먼저 구한 뒤, 삼각형 BOD의 밑변을 $\overline{OB}$로 보고 높이를 구합니다.

STEP 1$\overline{OH}=a$, $\overline{CH}=h$라 하면 △OCH에서 $a^2+h^2=16$, △ACH에서 $(4-a{)}^2+h^2=4$입니다. 두 식을 빼면 $8a-16=12$, 즉 $a=\frac{7}{2}$입니다.

STEP 2$\overline{OD}=t$라 하고, 점 D에서 $\overline{OA}$에 내린 수선의 발을 K라 합니다. △ODK ∽ △OCH이므로 $\overline{OK}=\overline{OH}\times \frac{t}{4}=\frac{7}{2}\times \frac{t}{4}=\frac{7t}{8}$입니다.

STEP 3$\overline{OB}\perp \overline{OA}$이므로 점 D에서 $\overline{OB}$까지의 거리는 $\overline{OK}=\frac{7t}{8}$입니다. 따라서 △BOD의 넓이는 $\frac{1}{2}\times 4\times \frac{7t}{8}=\frac{7t}{4}$입니다.

STEP 4$\frac{7t}{4}=\frac{14}{3}$에서 $t=\frac{8}{3}$입니다. (확인: $\cos (\angle AOC)=\frac{7}{8}$이므로 넓이 $=\frac{1}{2}\times 4\times \frac{8}{3}\times \frac{7}{8}=\frac{14}{3}$)

정답: ③ $\frac{8}{3}$

12번삼각비★★☆

핵심 개념 · 끼인각이 30°이면 수선을 그어 직각삼각형 두 개로 나눈다

두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어진 삼각형에서 나머지 한 변(터널의 길이)을 구하는 문제입니다.

끼인각이 30°이므로 점 B에서 $\overline{AC}$에 수선을 그어 두 개의 직각삼각형으로 나눕니다.

STEP 1점 B에서 $\overline{AC}$에 내린 수선의 발을 H라 하면 $\overline{BH}=14\sin 30^{\circ }=7\text{ km}$, $\overline{AH}=14\cos 30^{\circ }=7\sqrt{3}\text{ km}$입니다.

STEP 2$\overline{HC}=10\sqrt{3}-7\sqrt{3}=3\sqrt{3}\text{ km}$입니다.

STEP 3△BHC에서 $\overline{BC}=\sqrt{7^2+(3\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{49+27}=\sqrt{76}=2\sqrt{19}\text{ km}$입니다.

정답: ④ $2\sqrt{19}\text{ km}$

13번원과 직선★★☆

핵심 개념 · 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지난다

깨진 원 모양 접시 조각에서 현의 길이의 절반과, 현의 중점에서 호까지의 거리가 주어질 때 원래 접시의 지름을 구하는 문제입니다.

현의 수직이등분선은 원의 중심을 지납니다. 그림의 8 cm 선분을 연장하면 원의 중심을 지나므로, 반지름을 r로 놓고 피타고라스 정리를 씁니다.

STEP 1원의 중심을 O, 반지름을 $r$이라 하면 중심에서 현까지의 거리는 $r-8$이고, 현의 절반은 12 cm입니다.

STEP 2$r^2=12^2+(r-8{)}^2$에서 $r^2=144+r^2-16r+64$, $16r=208$, $r=13$입니다. (확인: $13^2=169=12^2+5^2$)

STEP 3지름은 $2\times 13=26\text{ cm}$입니다.

정답: ③ $26\text{ cm}$

14번원과 직선★☆☆

핵심 개념 · 길이가 같은 두 현은 중심으로부터 같은 거리에 있다

원의 중심에서 두 현에 내린 수선이 주어질 때, 중심에서 한 현까지의 거리를 구하는 문제입니다.

$x=\overline{OM}$입니다. 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분하고, 길이가 같은 두 현은 중심으로부터 같은 거리에 있습니다.

STEP 1$\overline{CD}\perp \overline{ON}$이므로 점 N은 $\overline{CD}$의 중점입니다. 따라서 $\overline{CD}=2\overline{DN}=14\text{ cm}$입니다.

STEP 2$\overline{AB}=\overline{CD}=14\text{ cm}$이므로 두 현은 중심으로부터 같은 거리에 있습니다. 따라서 $\overline{OM}=\overline{ON}=5\text{ cm}$입니다.

STEP 3확인: 반지름을 $r$이라 하면 $r^2=7^2+5^2=74$이고, $\overline{AM}=7$이므로 $x^2=74-49=25$, $x=5$입니다.

정답: ② $5$

15번원과 직선★★★

핵심 개념 · 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다

직각삼각형의 내접원의 중심에서 세 변에 수선을 그어 생긴 세 사각형의 넓이의 비와 한 선분의 길이가 주어질 때, 삼각형의 둘레의 길이를 구하는 문제입니다.

내접원의 반지름을 $r$이라 하면 $\overline{ID}=\overline{IE}=\overline{IF}=r$입니다. 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이가 같다는 성질을 씁니다.

STEP 1사각형 IECF는 네 각이 직각이고 $\overline{IE}=\overline{IF}=r$인 정사각형이므로 $S_3=r^2$, $\overline{CE}=\overline{CF}=r$입니다.

STEP 2$\overline{AD}=\overline{AF}$이므로 $S_1=2\times \frac{1}{2}\times r\times \overline{AD}=r\times \overline{AD}$, 같은 방법으로 $S_2=r\times \overline{BD}$입니다. $S_1:S_3=2:1$에서 $\overline{AD}=2r$, $S_2:S_3=3:1$에서 $\overline{BD}=3r$입니다.

STEP 3$\overline{BE}=\overline{BD}=3r$이므로 직각삼각형 BEI에서 ${\overline{BI}}^2=(3r{)}^2+r^2=10r^2=(3\sqrt{10}{)}^2=90$, 즉 $r=3$입니다.

STEP 4세 변은 $\overline{AB}=5r=15$, $\overline{BC}=4r=12$, $\overline{CA}=3r=9$이고 합은 $36$입니다. (확인: $9^2+12^2=225=15^2$이므로 ∠C=90°가 맞습니다.)

정답: ③ $36$

16번원과 직선★★☆

핵심 개념 · 원에 외접하는 사각형은 마주 보는 두 변의 길이의 합이 같다

원 모양 호수에 접하도록 만든 사각형 모양 산책로에서, 일정한 속력으로 걸린 시간을 이용해 한 변의 길이를 구하는 문제입니다.

산책로는 원에 외접하는 사각형입니다. 원에 외접하는 사각형은 마주 보는 두 변의 길이의 합이 서로 같습니다. 속력이 일정하므로 거리 대신 걸린 시간으로 계산해도 됩니다.

STEP 1사각형의 변은 (쉼터–화장실), (화장실–편의점), (편의점–전망대), (전망대–쉼터)입니다. 쉼터에서 화장실, 편의점을 거쳐 전망대까지 52분이 걸렸으므로 세 변에 걸린 시간의 합이 52분입니다.

STEP 2화장실–편의점이 17분이므로 (쉼터–화장실)+(편의점–전망대)는 $52-17=35$분입니다.

STEP 3마주 보는 변의 합이 같으므로 (화장실–편의점)+(전망대–쉼터)도 35분이고, 전망대–쉼터는 $35-17=18$분입니다.

STEP 4거리는 $18\times 50=900\text{ m}$입니다.

정답: ② $900\text{ m}$

여기서 많이 틀려요 · 52분은 세 변을 걸은 시간입니다. 마주 보는 변끼리 짝을 지어야 하므로, (쉼터–화장실)과 (편의점–전망대)를 한 쌍으로 묶는 것이 핵심입니다.

17번원주각★☆☆

핵심 개념 · 중심각은 같은 호에 대한 원주각의 2배

원에 내접하는 삼각형의 한 원주각이 주어질 때, 중심과 두 꼭짓점을 이어 만든 이등변삼각형의 밑각을 구하는 문제입니다.

$\angle x=\angle OAB$입니다. 한 호에 대한 중심각은 원주각의 2배입니다.

STEP 1호 AB에 대한 원주각이 ∠APB=42°이므로 중심각 ∠AOB=84°입니다.

STEP 2$\overline{OA}=\overline{OB}$(반지름)이므로 △OAB는 이등변삼각형이고, $\angle OAB=\frac{180^{\circ }-84^{\circ }}{2}=48^{\circ }$입니다.

정답: ③ $48^{\circ }$

18번원주각★★☆

핵심 개념 · 원주각의 크기는 호의 길이에 정비례한다

지름의 양쪽 호를 주어진 비와 3등분으로 나누었을 때, 두 현이 만나서 이루는 각의 크기를 구하는 문제입니다.

현 CE와 지름 AB의 교점을 Q라 하면 $\angle x=\angle AQE$(꼭짓점 Q, QA와 QE 사이의 각)입니다. 맞꼭지각인 ∠CQB를 삼각형 QCB에서 구합니다.

STEP 1지름 AB의 위쪽 반원에서 $\stackrel{⌢}{\mathrm{AC}}:\stackrel{⌢}{\mathrm{CB}}=7:5$입니다. 반원에 대한 원주각은 90°이므로 호 AC에 대한 원주각 $\angle ABC=90^{\circ }\times \frac{7}{12}=52.5^{\circ }$입니다.

STEP 2아래쪽 반원은 $\stackrel{⌢}{\mathrm{AD}}=\stackrel{⌢}{\mathrm{DE}}=\stackrel{⌢}{\mathrm{EB}}$로 3등분되므로 호 EB에 대한 원주각 $\angle ECB=90^{\circ }\times \frac{1}{3}=30^{\circ }$입니다.

STEP 3△QCB에서 $\angle CQB=180^{\circ }-30^{\circ }-52.5^{\circ }=97.5^{\circ }$입니다.

STEP 4$\angle x=\angle AQE=\angle CQB=97.5^{\circ }$(맞꼭지각)입니다. (확인: 두 현이 만나는 각 $=\frac{1}{2}$(호 CB의 중심각 75° + 호 AE의 중심각 120°)$=97.5^{\circ }$)

정답: ③ $97.5^{\circ }$

19번원주각★★☆

핵심 개념 · 원주각 60° → 중심각 120°인 이등변삼각형

원 위의 한 점에서 현(무대)의 양 끝을 바라본 각과 현의 길이가 주어질 때, 원의 반지름의 길이를 구하는 문제입니다.

원주각이 60°이므로 같은 호에 대한 중심각은 120°입니다. 중심과 무대의 양 끝을 이은 이등변삼각형을 이용합니다.

STEP 1원의 중심을 O, 무대의 양 끝을 S, T라 하면 ∠SOT=2×60°=120°이고 $\overline{OS}=\overline{OT}=r$입니다.

STEP 2점 O에서 $\overline{ST}$에 내린 수선의 발을 M이라 하면 $\overline{SM}=\frac{9}{2}\text{ m}$, ∠SOM=60°입니다.

STEP 3$\sin 60^{\circ }=\frac{\overline{SM}}{r}$에서 $r=\frac{9}{2}÷\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\text{ m}$입니다. (확인: $2\times 3\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=9$)

정답: ④ $3\sqrt{3}\text{ m}$

20번원주각★★☆

핵심 개념 · 원에 내접하는 사각형의 대각의 합은 180°

지름을 포함하는 두 내접사각형에서, 두 대각선이 만나는 점의 각과 한 원주각이 주어질 때 사각형의 한 내각을 구하는 문제입니다.

점 P는 $\overline{BD}$와 $\overline{EC}$의 교점이고, ∠BPE는 PB와 PE 사이의 각입니다. 지름에 대한 원주각과 내접사각형의 대각의 합을 이용합니다.

STEP 1$\overline{AC}$가 지름이므로 ∠ABC=90°입니다. 따라서 ∠DBC=90°−71°=19°입니다.

STEP 2세 점 E, P, C가 한 직선 위에 있으므로 ∠BPE는 △PBC의 꼭짓점 P에서의 외각입니다. $\angle BPE=\angle PBC+\angle PCB$에서 $81^{\circ }=19^{\circ }+\angle BCE$, 즉 ∠BCE=62°입니다.

STEP 3□ABCE는 원에 내접하므로 $\angle BAE+\angle BCE=180^{\circ }$, $\angle BAE=118^{\circ }$입니다.

정답: ① $118^{\circ }$

21번원주각★★★

핵심 개념 · 접선과 현이 이루는 각은 그 각 안의 호에 대한 원주각과 같다

지름이 다른 두 반원과, 한 점에서 작은 반원에 그은 접선이 주어질 때 큰 반원의 호의 길이를 구하는 문제입니다.

그림의 55°는 ∠BDE(접선 DE와 현 DB 사이의 각)입니다. 접선과 현이 이루는 각은 그 각 안에 있는 호에 대한 원주각과 같다는 성질을 씁니다.

STEP 1$\overline{BC}$가 작은 반원의 지름이므로 ∠CDB=90°이고, 접선과 현이 이루는 각의 성질에 의해 ∠DCB=∠BDE=55°입니다. 따라서 △CDB에서 ∠DBC=90°−55°=35°입니다.

STEP 2세 점 A, D, E가 한 직선 위에 있으므로 ∠ADB=180°−55°=125°입니다. △ADB에서 $\angle DAB=180^{\circ }-125^{\circ }-35^{\circ }=20^{\circ }$, 즉 ∠EAB=20°입니다.

STEP 3∠EAB는 호 EB에 대한 원주각이므로 호 EB의 중심각은 40°입니다. 반원의 호(중심각 180°)가 45 cm이므로 $\stackrel{⌢}{\mathrm{EB}}=45\times \frac{40}{180}=10\text{ cm}$입니다.

STEP 4확인: $\overline{AB}$가 지름이므로 ∠AEB=90°, ∠EBA=70°이고, 호 AE의 중심각은 140°입니다. $45\times \frac{140}{180}=35\text{ cm}$이고 $35+10=45$로 맞습니다.

정답: ④ $10\text{ cm}$

22번원주각★★☆

핵심 개념 · 접선과 현이 이루는 각 + 삼각형의 외각

원 밖의 한 점에서 그은 접선과 할선이 주어지고 원에 내접하는 삼각형이 이등변삼각형일 때, 꼭지각의 크기를 구하는 문제입니다.

∠CAB=$a$라 놓습니다. 접선과 현이 이루는 각은 그 각 안에 있는 호에 대한 원주각과 같습니다.

STEP 1$\overline{AB}=\overline{AC}$이므로 $\angle ABC=\angle ACB=\frac{180^{\circ }-a}{2}$입니다.

STEP 2직선 PC가 접선이므로 $\angle PCB=\angle CAB=a$입니다.

STEP 3∠ABC는 △PBC의 꼭짓점 B에서의 외각이므로 $\angle ABC=\angle BPC+\angle PCB=39^{\circ }+a$입니다.

STEP 4$\frac{180^{\circ }-a}{2}=39^{\circ }+a$에서 $180^{\circ }-a=78^{\circ }+2a$, $a=34^{\circ }$입니다. (확인: ∠ABC=∠ACB=73°, $34^{\circ }+73^{\circ }+73^{\circ }=180^{\circ }$)

정답: ① $34^{\circ }$

23번대푯값★☆☆

핵심 개념 · 중앙값은 크기순으로 나열한 뒤 가운데 값

7개의 자료가 주어질 때 평균, 중앙값, 최빈값을 차례대로 구하는 문제입니다.

중앙값은 자료를 크기순으로 나열한 뒤 가운데 값을, 최빈값은 가장 많이 나타나는 값을 찾습니다.

STEP 1평균은 $\frac{3+4+4+7+6+7+4}{7}=\frac{35}{7}=5$입니다.

STEP 2크기순으로 나열하면 3, 4, 4, 4, 6, 7, 7이고, 자료가 7개이므로 4번째 값인 4가 중앙값입니다.

STEP 34가 세 번으로 가장 많이 나타나므로 최빈값은 4입니다.

정답: ① $5$, $4$, $4$

24번대푯값★★☆

핵심 개념 · 평균으로 두 수의 합을, 중앙값으로 한 수를 정한다

평균과 중앙값이 주어진 7개의 자료에서 모르는 두 값의 차를 구하는 문제입니다.

평균에서 두 미지수의 합을, 중앙값에서 두 미지수 중 하나의 값을 정합니다.

STEP 1평균이 7이므로 자료의 합은 $7\times 7=49$이고, $a+b=49-(1+2+3+8+14)=21$입니다.

STEP 2자료가 7개이므로 중앙값은 크기순으로 4번째 값입니다. 1, 2, 3, 8, 14 중에는 6이 없으므로 $a$, $b$ 중 하나가 6입니다.

STEP 3$b=6$이면 $a=15>b$가 되어 조건 $b>a$에 맞지 않습니다. 따라서 $a=6$, $b=15$입니다. (확인: 1, 2, 3, 6, 8, 14, 15의 4번째 값은 6)

STEP 4$a-b=6-15=-9$입니다.

정답: ⑤ $-9$

25번대푯값★★☆

핵심 개념 · 가장 많이 팔린 크기를 알려면 최빈값

하루 동안 팔린 신발의 크기 자료에서, 자료의 특징을 가장 잘 나타내는 대푯값과 그 값을 고르는 문제입니다.

신발 가게에서는 가장 많이 팔린 크기를 알아야 재고를 준비할 수 있습니다. 이처럼 자료가 '어떤 값이 가장 많은가'를 묻는 경우에는 최빈값이 적절한 대푯값입니다.

STEP 1255가 4번으로 가장 많이 나타나므로 최빈값은 255입니다.

STEP 2비교: 평균은 $\frac{2625}{10}=262.5$이고, 크기순 5번째와 6번째 값의 평균인 중앙값은 $\frac{255+260}{2}=257.5$입니다. 이 두 값에 해당하는 신발 크기는 실제로 팔리지 않았으므로 대푯값으로 알맞지 않습니다.

STEP 3따라서 자료의 특징을 잘 나타내는 대푯값은 최빈값 255입니다.

정답: ④ 최빈값, $255$

여기서 많이 틀려요 · ② 평균 262.5는 계산은 맞지만, 실제로 팔린 신발 크기가 아니어서 이 자료의 대푯값으로는 알맞지 않습니다.

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2026년 연성중 3학년 2학기 기말고사, 이렇게 준비하세요

첫째, 삼각비는 값을 외우는 것보다 그림에서 기준 각과 빗변을 먼저 표시하는 습관이 중요합니다. 1번과 7번은 기준 각이 바뀌는 순간 대변과 이웃변이 함께 바뀐다는 점을 묻는 문항이었습니다. 문제를 풀기 전에 각에 동그라미를 치고, 그 각의 대변·이웃변·빗변을 손으로 적어 보세요.

둘째, 직각삼각형이 바로 보이지 않을 때 수선을 어디에 내릴지 정하는 연습을 해 두세요. 6·9·11·12번은 모두 수선 하나로 직각삼각형을 만들면 풀렸습니다. 30°, 45°, 60°가 있는 꼭짓점에서 맞은편 변으로 수선을 내리는 것이 기본입니다.

셋째, 원 단원은 성질 이름과 그림을 짝지어 정리하세요. 현의 수직이등분선, 접선의 길이, 원에 외접하는 사각형, 원주각과 중심각, 원에 내접하는 사각형, 접선과 현이 이루는 각까지 이번 시험에 거의 모두 나왔습니다. 성질마다 대표 그림을 하나씩 그려 두면 시험장에서 어느 성질을 쓸지 빨리 떠올릴 수 있습니다.

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풀이에서 이해되지 않는 단계가 있거나 다른 방법으로 푼 풀이가 궁금하면 댓글로 남겨 주세요. 확인하는 대로 답글을 달겠습니다.

일등급솔루션학원 · 좋은 습관은 인생을 바꾼다
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