연수고 2학년 2학기 중간고사 수학 기출 해설 (2025) | 전 문항 풀이

수학 독립만세입니다.

이번 글은 연수고등학교 2학년 2025학년도 2학기 1회고사(중간고사) 수학Ⅱ 해설입니다. 객관식 16문항과 서답형 5문항(단답형 4, 서술형 1), 모두 21문항으로 구성되었고, 시험 범위는 함수의 극한과 연속부터 미분계수·도함수·접선까지였습니다. 극한값을 계산하는 기본기에 더해, 그래프를 읽고 좌극한과 우극한을 구분하는 힘, 구간별로 정의된 함수의 연속 조건을 끝까지 따지는 힘을 고르게 물은 시험입니다. 2026년 중간고사를 준비하는 연수고 2학년 학생과, 시험 수준을 미리 알아 두고 싶은 학부모님께 도움이 되었으면 합니다.

먼저 문항별 단원·핵심 개념·배점 기준 난이도를 표로 정리했고, 번호를 누르면 해당 풀이로 바로 넘어갑니다. 이어서 시험 전체의 출제 흐름을 짚고, 객관식 1번부터 서답형 5번까지 수학Ⅱ 범위의 개념만으로 단계별 풀이를 적었습니다. 실수가 잦은 몇 문항에는 주의할 점을 따로 달아 두었습니다.

학교 시험지 원문은 저작권 보호 대상이라 이 글에 그대로 싣지 않았습니다. 그 대신 문항마다 무엇을 묻는지 한두 문장으로 요약하고, 답에 이르는 과정을 단계별로 적었습니다. 시험지가 없어도 어떤 개념을 어떤 순서로 쓰는지 충분히 따라오실 수 있습니다.

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풀이를 먼저 읽으면 쉬워 보이던 문제도, 시험지를 혼자 마주하면 첫 줄부터 막히는 경우가 많습니다. 아래 글에서 기출문제를 무료로 보는 방법을 확인해 시간을 재고 먼저 풀어 보시고, 다 푼 뒤 이 페이지로 돌아와 채점과 풀이를 확인해 보세요.

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연수고 2학년 2학기 중간고사(2025) 수학Ⅱ 문항별 단원·난이도 한눈에 보기

번호	단원	핵심 개념	난이도 (배점 기준)
1	함수의 극한	분자·분모를 최고차항으로 나누어 계수의 비를 구한다	★☆☆
2	함수의 연속	경계점에서 좌극한과 함숫값이 같아야 한다	★☆☆
3	미분계수와 도함수	평균변화율 = 함숫값의 변화량 ÷ x의 변화량	★★☆
4	도함수의 활용	평균값 정리: 구간의 평균변화율과 같은 순간변화율	★★☆
5	함수의 극한	극한이 수렴하는 조건으로 다항식의 계수를 차례로 정한다	★★☆
6	함수의 극한	합성함수의 극한은 안쪽 함수가 어느 쪽에서 다가가는지부터 본다	★★☆
7	미분계수와 도함수	0/0 꼴 극한을 미분계수의 정의로 바꾼다	★★☆
8	함수의 극한	함수의 극한의 대소 관계(조임)로 f(x)/x의 극한을 구한다	★★☆
9	미분계수와 도함수	분모를 바꿔 곱해 미분계수의 정의 꼴을 만든다	★★☆
10	도함수의 활용	곡선 밖의 점에서 그은 접선은 접점을 문자로 놓는다	★★☆
11	함수의 극한	좌표를 문자로 놓고 유리화로 0/0 꼴을 정리한다	★★★
12	도함수의 활용	두 접선이 일치하려면 기울기와 y절편이 모두 같아야 한다	★★★
13	함수의 연속	그래프에서 좌극한·우극한·함숫값을 따로 읽고, 정수 경계를 찾는다	★★★
14	함수의 연속	이차항 계수가 0인 경우를 따로 보고, 판별식으로 근의 개수를 나눈다	★★★
15	함수의 연속	분모가 0이 되는 점이 정의역 안에 있으면 연속일 수 없다	★★★
16	함수의 연속	절댓값 함수가 연속이려면 끊긴 두 값이 b에서 같은 거리에 있어야 한다	★★★
서답형 1	함수의 연속	사잇값 정리는 양 끝 함숫값의 부호가 다를 때만 근을 보장한다	★★☆
서답형 2	함수의 극한	극한 조건에서 인수 (x−2)를 꺼내고, 몫의 함숫값으로 나머지를 정한다	★★★
서답형 3	함수의 연속	연속 조건으로 계수를 정한 뒤 구간별로 최댓값·최솟값을 찾는다	★★★
서답형 4	함수의 극한	부호가 바뀌는 점에서 절댓값이 든 극한이 수렴하려면 분자도 0이어야 한다	★★★
서답형 5	도함수의 활용	접선의 방정식을 구하고, 점과 직선 사이의 거리로 반지름을 구한다	★★★

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연수고 2학년 2025 2학기 중간 수학Ⅱ, 출제 흐름

단원별로 보면 함수의 극한과 연속이 14문항(1·2·5·6·8·11·13~16번, 서답형 1~4번), 미분이 7문항(3·4·7·9·10·12번, 서답형 5번)으로, 시험의 3분의 2가 극한과 연속에서 나왔습니다. 1~5번은 극한값 계산, 연속 조건, 평균변화율, 평균값 정리를 한 번씩 확인하는 기본 문항이었고, 6번부터는 그래프를 읽거나 조건을 여러 개 엮어야 하는 문항이 이어졌습니다.

배점이 5점 이상인 문항은 11~16번과 서답형 2~5번입니다. 특히 13~16번 네 문항이 모두 "연속"을 서로 다른 각도에서 물었습니다. 13번은 그래프와 최대정수 함수, 14번은 근의 개수로 정의된 함수, 15번은 두 함수의 몫, 16번은 주기함수에 절댓값을 씌운 함수였습니다. 경계점 하나만 확인하고 넘어가면 놓치는 조건이 하나씩 숨어 있어, 이 구간에서 점수 차이가 크게 났을 것입니다.

미분 문항은 0/0 꼴 극한을 미분계수의 정의로 바꾸는 7·9번과, 접선을 다루는 10·12번·서답형 5번이 중심이었습니다. 서답형은 사잇값 정리(1번), 다항식의 나머지(2번), 연속과 최대·최소(3번), 절댓값이 든 극한(4번), 접선과 원(5번)으로 범위 전체를 고르게 훑었고, 서답형 4번(6점)은 극한이 수렴하는 조건을 두 번 겹쳐 써야 하는 이번 시험의 최고난도 문항입니다.

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연수고 2학년 2학기 중간고사 수학Ⅱ 전 문항 단계별 풀이

1번함수의 극한★☆☆

핵심 개념 · 분자·분모를 최고차항으로 나누어 계수의 비를 구한다

x가 한없이 커질 때, 이차식을 이차식으로 나눈 분수식의 극한값을 구하는 문제입니다.

STEP 1분자와 분모를 각각 $x^2$으로 나누면 $\frac{4-\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}-1}$입니다.

STEP 2$x\to \infty$이면 $\frac{1}{x}\to 0$, $\frac{1}{x^2}\to 0$이므로 극한값은 $\frac{4}{-1}=-4$입니다.

정답: ④ −4

2번함수의 연속★☆☆

핵심 개념 · 경계점에서 좌극한과 함숫값이 같아야 한다

x=1을 경계로 두 식으로 정의된 함수가 실수 전체에서 연속이 되도록 하는 상수 a를 구하는 문제입니다.

STEP 1각 구간의 식은 다항식이므로 연속이고, 확인할 곳은 경계점 $x=1$뿐입니다.

STEP 2좌극한은 $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(x^2+2ax+3)=2a+4$, 함숫값은 $f(1)=6$입니다.

STEP 3$2a+4=6$이므로 $a=1$입니다.

정답: ① 1

3번미분계수와 도함수★★☆

핵심 개념 · 평균변화율 = 함숫값의 변화량 ÷ x의 변화량

이차함수에서 x가 a부터 a+1까지 변할 때의 평균변화율이 주어진 값일 때, 상수 a를 구하는 문제입니다.

STEP 1$x$의 변화량이 $1$이므로 평균변화율은 $f(a+1)-f(a)$입니다.

STEP 2$f(a+1)-f(a)=\{(a+1{)}^2-5(a+1)\}-(a^2-5a)=2a-4$입니다.

STEP 3$2a-4=12$이므로 $a=8$입니다.

정답: ③ 8

4번도함수의 활용★★☆

핵심 개념 · 평균값 정리: 구간의 평균변화율과 같은 순간변화율

이차함수에 대하여 주어진 닫힌구간에서 평균값 정리를 만족시키는 c의 값을 구하는 문제입니다.

STEP 1구간 $[-1,2]$에서의 평균변화율은 $\frac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}=\frac{7-4}{3}=1$입니다.

STEP 2$f^{\prime }(x)=2x$이므로 $f^{\prime }(c)=2c=1$, 즉 $c=\frac{1}{2}$이고, 이 값은 열린구간 $(-1,2)$ 안에 있습니다.

정답: ① $\frac{1}{2}$

5번함수의 극한★★☆

핵심 개념 · 극한이 수렴하는 조건으로 다항식의 계수를 차례로 정한다

x가 한없이 커질 때와 0으로 갈 때의 두 극한 조건을 모두 만족시키는 다항식을 찾아 x=−1에서의 함숫값을 구하는 문제입니다.

STEP 1$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x^3-f(x)}{x^2}=3$이 수렴하려면 $2x^3-f(x)$는 최고차항이 $3x^2$인 이차식이어야 합니다. 따라서 $2x^3-f(x)=3x^2+px+q$, 즉 $f(x)=2x^3-3x^2-px-q$로 놓을 수 있습니다.

STEP 2$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=-9$에서 분모가 $0$으로 가므로 분자도 $0$으로 가야 하고, $f(0)=-q=0$입니다.

STEP 3이때 $\frac{f(x)}{x}=2x^2-3x-p\to -p$이므로 $-p=-9$, $p=9$입니다. 따라서 $f(x)=2x^3-3x^2-9x$이고 $f(-1)=-2-3+9=4$입니다.

정답: ⑤ 4

6번함수의 극한★★☆

핵심 개념 · 합성함수의 극한은 안쪽 함수가 어느 쪽에서 다가가는지부터 본다

그래프로 주어진 함수에 대하여, 합성함수의 좌극한과 1/t을 넣은 함수의 극한을 각각 구해 더하는 문제입니다.

STEP 1그래프에서 $x=-1$은 곡선의 꼭대기(높이 $2$)이므로, $x\to -1^{-}$일 때 $f(x)$는 $2$보다 작은 값에서 $2$로 다가갑니다. 즉 $f(x)\to 2^{-}$입니다.

STEP 2$f(x)=s$로 놓으면 $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f(f(x))=\underset{s\to 2^{-}}{\lim }f(s)$입니다. $1<x<2$에서 그래프는 점 $(1,2)$에서 점 $(2,0)$으로 내려가는 선분이므로 $\underset{s\to 2^{-}}{\lim }f(s)=0$입니다.

STEP 3$t\to -\infty$이면 $\frac{1}{t}$은 음수 쪽에서 $0$으로 다가가므로 $\underset{t\to -\infty }{\lim }f\left(\frac{1}{t}\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=1$입니다.

STEP 4두 극한값의 합은 $0+1=1$입니다.

정답: ① 1

여기서 많이 틀려요 · STEP 1에서 $f(x)\to 2$라고만 쓰고 바로 $f(2)=1$을 넣으면 오답이 됩니다. 극댓값 근처라 $f(x)$는 2보다 작은 쪽에서 다가오므로, $x=2$의 왼쪽 선분을 따라가야 합니다.

7번미분계수와 도함수★★☆

핵심 개념 · 0/0 꼴 극한을 미분계수의 정의로 바꾼다

계수가 정해지지 않은 삼차함수가 x→3일 때의 극한 조건을 만족시키도록 a, b를 정하고, a+2b의 값을 구하는 문제입니다.

STEP 1$x\to 3$일 때 분모 $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\to 0$이므로 분자도 $0$으로 가야 합니다. $x-2\to 1$이므로 $f(1)-3=0$, 즉 $f(1)=1+a+b-2=3$에서 $a+b=4$입니다.

STEP 2$x-2=t$로 놓으면 $x\to 3$일 때 $t\to 1$이고 $x-3=t-1$이므로 $$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{f(x-2)-3}{(x-2)(x-3)}=\underset{t\to 1}{\lim }\frac{f(t)-f(1)}{t-1}\times \frac{1}{t}=f^{\prime }(1)\times 1$$입니다. 따라서 $f^{\prime }(1)=4$입니다.

STEP 3$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$이므로 $3+2a+b=4$, 즉 $2a+b=1$입니다. $a+b=4$와 연립하면 $a=-3$, $b=7$입니다.

STEP 4$a+2b=-3+14=11$입니다.

정답: ② 11

8번함수의 극한★★☆

핵심 개념 · 함수의 극한의 대소 관계(조임)로 f(x)/x의 극한을 구한다

두 이차식 사이에 놓인 함수에 대하여, x가 오른쪽에서 0으로 갈 때 주어진 분수식의 극한값을 구하는 문제입니다.

STEP 1$x>0$이므로 부등식의 각 변을 $x$로 나누면 $-2x+3\le \frac{f(x)}{x}\le 2x+3$입니다. $x\to 0^{+}$일 때 양쪽 모두 $3$으로 가므로 $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)}{x}=3$입니다.

STEP 2구하는 식의 분자와 분모를 $x^3$으로 나누면 $$\frac{\{f(x){\}}^3}{2x^2\{x+f(x)\}}=\frac{{\left(\frac{f(x)}{x}\right)}^3}{2\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)}$$입니다.

STEP 3$\frac{f(x)}{x}\to 3$이므로 극한값은 $\frac{3^3}{2\times (1+3)}=\frac{27}{8}$입니다.

정답: ③ $\frac{27}{8}$

9번미분계수와 도함수★★☆

핵심 개념 · 분모를 바꿔 곱해 미분계수의 정의 꼴을 만든다

이차함수에 대한 극한 조건 하나가 주어졌을 때, x→−1일 때의 다른 극한값을 구하는 문제입니다.

STEP 1$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x^3)}{x-1}=-9$에서 분모가 $0$으로 가므로 분자도 $0$으로 가야 하고, $f(1)=0$입니다.

STEP 2$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$을 이용하면 $$\frac{f(x^3)}{x-1}=\frac{f(x^3)-f(1)}{x^3-1}\times (x^2+x+1)$$이고, $x\to 1$일 때 $x^3\to 1$이므로 극한값은 $f^{\prime }(1)\times 3$입니다. 따라서 $3f^{\prime }(1)=-9$, $f^{\prime }(1)=-3$입니다.

STEP 3구하는 식은 $$\frac{f(x)+xf(-1)}{x+1}=\frac{f(x)-f(-1)}{x+1}+\frac{(x+1)f(-1)}{x+1}$$로 나눌 수 있으므로, 극한값은 $f^{\prime }(-1)+f(-1)$입니다.

STEP 4$f(x)=A{x}^2+Bx+C$로 놓으면 $f(1)=A+B+C=0$, $f^{\prime }(1)=2A+B=-3$입니다. $f^{\prime }(-1)+f(-1)=(-2A+B)+(A-B+C)=-A+C$이고, $C=-A-B$를 넣으면 $-2A-B=-(2A+B)=3$입니다.

정답: ⑤ 3

10번도함수의 활용★★☆

핵심 개념 · 곡선 밖의 점에서 그은 접선은 접점을 문자로 놓는다

원점에서 사차함수의 그래프에 그은 두 접선의 접점을 A, B라 할 때, 삼각형 OAB의 넓이를 구하는 문제입니다.

STEP 1접점을 $(t,t^4-3t^2+18)$로 놓으면 접선의 기울기는 $4t^3-6t$이고, 접선은 $y=(4t^3-6t)(x-t)+t^4-3t^2+18$입니다.

STEP 2이 접선이 원점을 지나므로 $0=-t(4t^3-6t)+t^4-3t^2+18$, 정리하면 $t^4-t^2-6=0$, 즉 $(t^2-3)(t^2+2)=0$입니다. $t^2=3$이므로 $t=\pm \sqrt{3}$입니다.

STEP 3두 접점의 $y$좌표는 $9-9+18=18$로 같으므로 $A(\sqrt{3},18)$, $B(-\sqrt{3},18)$입니다.

STEP 4밑변 $\overline{AB}=2\sqrt{3}$, 높이 $18$이므로 넓이는 $\frac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times 18=18\sqrt{3}$입니다.

정답: ② $18\sqrt{3}$

11번함수의 극한★★★

핵심 개념 · 좌표를 문자로 놓고 유리화로 0/0 꼴을 정리한다

포물선 위의 점 P와 원점에서 같은 거리에 있는 x축 위의 점 Q를 잡고, 직선 PQ가 y축과 만나는 점 R이 P가 원점으로 갈 때 어디로 다가가는지 구하는 문제입니다.

STEP 1$P(p,3p^2)(p>0)$로 놓으면 $\overline{OP}=\sqrt{p^2+9p^4}=p\sqrt{1+9p^2}$이므로 $Q(s,0)$, $s=p\sqrt{1+9p^2}$입니다.

STEP 2직선 $PQ$의 기울기는 $\frac{-3p^2}{s-p}$이고, 점 $Q$를 지나므로 $x=0$을 넣으면 $R$의 $y$좌표는 $\frac{3p^{2}s}{s-p}$입니다.

STEP 3분모를 유리화하면 $s-p=p\left(\sqrt{1+9p^2}-1\right)=\frac{9p^3}{\sqrt{1+9p^2}+1}$입니다. 따라서 $$\frac{3p^{2}s}{s-p}=\frac{3p^3\sqrt{1+9p^2}\left(\sqrt{1+9p^2}+1\right)}{9p^3}=\frac{\sqrt{1+9p^2}\left(\sqrt{1+9p^2}+1\right)}{3}$$입니다.

STEP 4$p\to 0^{+}$이면 이 값은 $\frac{1\times 2}{3}=\frac{2}{3}$으로 다가가므로 $k=\frac{2}{3}$입니다.

정답: ② $\frac{2}{3}$

12번도함수의 활용★★★

핵심 개념 · 두 접선이 일치하려면 기울기와 y절편이 모두 같아야 한다

한 삼차곡선 위의 점 P에서의 접선과, 그 곡선을 위아래로 옮긴 곡선 위의 점 Q에서의 접선이 같을 때 양수 k를 구하는 문제입니다.

STEP 1$y=x^3-12$에서 $y^{\prime }=3x^2$이므로 점 $P(-2,-20)$에서의 접선의 기울기는 $12$이고, 접선은 $y=12(x+2)-20$, 즉 $y=12x+4$입니다.

STEP 2$y=x^3+k$ 위의 점 $Q(q,q^3+k)$에서의 기울기 $3q^2$이 $12$여야 하므로 $q=2$ 또는 $q=-2$입니다.

STEP 3$Q$에서의 접선은 $y=12(x-q)+q^3+k$이고, $y$절편이 $4$여야 하므로 $k=4+12q-q^3$입니다.

STEP 4$q=2$이면 $k=4+24-8=20$, $q=-2$이면 $k=4-24+8=-12$입니다. $k$는 양수이므로 $k=20$입니다.

정답: ④ 20

13번함수의 연속★★★

핵심 개념 · 그래프에서 좌극한·우극한·함숫값을 따로 읽고, 정수 경계를 찾는다

그래프로 주어진 함수와, 그 함숫값을 넘지 않는 최대의 정수로 만든 함수에 대한 보기 세 개의 참·거짓을 판단하는 문제입니다.

STEP 1그래프 읽기: $x\le -1$에서는 직선으로 $f(-2)=3$, $f(-1)=2$입니다. $-1<x\le 1$에서는 아래로 볼록한 곡선으로, $x\to -1^{+}$일 때 $-1$보다 작은 쪽에서 $-1$로 다가가고, $f(0)=-2$, $f(1)=-1$입니다. $x>1$에서는 점 $(1,2)$(빈 점)에서 시작해 $(2,0)$을 지나는 직선입니다.

STEP 2ㄱ. $x\to 1^{+}$일 때 $f(x)$는 $2$보다 작은 쪽에서 $2$로 다가가므로 $g(x)=1$입니다. 따라서 $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\{f(x)+g(x)\}=2+1=3$이고, ㄱ은 거짓입니다.

STEP 3ㄴ. $h(x)=f(x)\{f(x)-k\}$로 놓으면 $h(-1)$과 좌극한은 $2(2-k)$, 우극한은 $(-1)(-1-k)=1+k$입니다. $4-2k=1+k$에서 $k=1$이므로 그런 $k$가 존재하고, ㄴ은 참입니다.

STEP 4ㄷ. $-2<x<2$에서 $g(x)$의 값을 구간별로 적으면 $-2<x\le -1$에서 $2$, $-1<x<1$에서 $-2$, $x=1$에서 $-1$, $1<x\le \frac{3}{2}$에서 $1$, $\frac{3}{2}<x<2$에서 $0$입니다. 값이 바뀌는 $x=-1,1,\frac{3}{2}$의 세 점에서 불연속이므로, "2개"라는 ㄷ은 거짓입니다.

정답: ② ㄴ

여기서 많이 틀려요 · ㄱ에서 $f(x)\to 2$이니 $g(x)\to 2$라고 생각하기 쉽습니다. $f(x)$는 2에 닿지 않고 2보다 작은 값에서 다가오므로 최대정수는 1입니다. ㄷ에서도 $f(x)=1$이 되는 $x=\frac{3}{2}$를 놓치면 불연속점을 2개로 세게 됩니다.

14번함수의 연속★★★

핵심 개념 · 이차항 계수가 0인 경우를 따로 보고, 판별식으로 근의 개수를 나눈다

a에 따라 달라지는 방정식의 실근의 개수를 f(a)라 할 때, f가 불연속인 a의 개수와 합성함수의 우극한을 구해 식의 값을 계산하는 문제입니다.

STEP 1$a=0$이면 방정식은 $8x+4=0$인 일차방정식이므로 실근은 $1$개, $f(0)=1$입니다.

STEP 2$a\ne 0$이면 $\frac{D}{4}=(a-4{)}^2+a(a-4)=2(a-2)(a-4)$입니다. 따라서 $a<2$(단, $a\ne 0$) 또는 $a>4$이면 $f(a)=2$, $a=2$ 또는 $a=4$이면 $f(a)=1$, $2<a<4$이면 $f(a)=0$입니다.

STEP 3$a=0$에서는 양쪽 극한이 $2$인데 $f(0)=1$, $a=2$에서는 좌극한 $2$·함숫값 $1$·우극한 $0$, $a=4$에서는 좌극한 $0$·함숫값 $1$·우극한 $2$이므로 세 점 모두 불연속입니다. 따라서 $m=3$입니다.

STEP 4$x$가 $3$보다 조금 클 때도 $2<x<4$이므로 $f(x)=0$이고, $f(f(x))=f(0)=1$입니다. 따라서 $n=1$이고 $2m+n=6+1=7$입니다.

정답: ③ 7

여기서 많이 틀려요 · 판별식만 보면 $a=0$ 근처는 모두 "실근 2개"라서 $a=0$을 그냥 지나치기 쉽습니다. 이차항 계수가 문자이면 그 계수가 0인 경우를 반드시 따로 확인하세요.

15번함수의 연속★★★

핵심 개념 · 분모가 0이 되는 점이 정의역 안에 있으면 연속일 수 없다

x=2를 경계로 정의된 두 함수의 몫이 실수 전체에서 연속이 되도록 하는 0이 아닌 상수 a, b의 곱을 구하는 문제입니다.

STEP 1$x>2$에서 $f(x)=(x-2)(x+3)$은 $x\to 2^{+}$일 때 $0$으로 갑니다. 몫의 우극한이 존재하려면 분자도 $0$으로 가야 하므로 $4-a^2=0$, 즉 $a=2$ 또는 $a=-2$입니다.

STEP 2$a=2$이면 $x\le 2$에서 $f(x)=x+6$이 $x=-6$에서 $0$이 됩니다. 분모가 $0$인 점에서는 몫이 정의되지 않으므로 실수 전체에서 연속일 수 없습니다. 따라서 $a=-2$이고, 이때 $f(x)=x-6$은 $x\le 2$에서 $0$이 되지 않습니다.

STEP 3$x>2$에서 $\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+3)}=\frac{x+2}{x+3}$이므로 우극한은 $\frac{4}{5}$입니다.

STEP 4$x=2$에서의 함숫값은 $\frac{g(2)}{f(2)}=\frac{4b}{-4}=-b$이므로 $-b=\frac{4}{5}$, $b=-\frac{4}{5}$입니다. 따라서 $ab=(-2)\times \left(-\frac{4}{5}\right)=\frac{8}{5}$입니다.

정답: ④ $\frac{8}{5}$

여기서 많이 틀려요 · 경계점 $x=2$만 확인하면 $a=2$도 답처럼 보입니다. 다른 구간에서 분모가 0이 되는 점이 생기지 않는지까지 확인해야 $a$가 하나로 정해집니다.

16번함수의 연속★★★

핵심 개념 · 절댓값 함수가 연속이려면 끊긴 두 값이 b에서 같은 거리에 있어야 한다

주기가 4인 구간별 함수에서 f(x)−b의 절댓값이 실수 전체에서 연속이 되도록 할 때, a²+b²의 최댓값과 최솟값의 합을 구하는 문제입니다.

STEP 1한 주기 안에서 끊길 수 있는 곳은 $x=2$와 $x=4$($x=0$과 같은 위치)입니다. $x=2$에서는 좌극한 $2^2-8+3=-1$, 함숫값 $a$이고, $x=4$에서는 좌극한 $a$, 함숫값 $f(4)=f(0)=3$입니다.

STEP 2$|f(x)-b|$가 연속이려면 $|-1-b|=|a-b|$와 $|a-b|=|3-b|$가 모두 성립해야 합니다.

STEP 3두 식에서 $|-1-b|=|3-b|$이고, $-1\ne 3$이므로 $b$는 $-1$과 $3$의 한가운데인 $b=1$입니다.

STEP 4$|a-1|=2$이므로 $a=3$ 또는 $a=-1$입니다. $a^2+b^2$은 $10$ 또는 $2$이므로, 최댓값과 최솟값의 합은 $10+2=12$입니다.

정답: ⑤ 12

서답형 1번함수의 연속★★☆

핵심 개념 · 사잇값 정리는 양 끝 함숫값의 부호가 다를 때만 근을 보장한다

닫힌구간에서 연속인 함수의 몇몇 함숫값의 곱의 부호가 주어질 때, 방정식이 열린구간에서 적어도 몇 개의 실근을 갖는지 구하는 단답형 문제입니다.

STEP 1$f(0)=-2<0$이고 $f(0)f(1)<0$이므로 $f(1)>0$입니다. 이어서 $f(1)f(2)>0$, $f(2)f(3)>0$에서 $f(2)>0$, $f(3)>0$이고, $f(3)f(4)<0$에서 $f(4)<0$입니다.

STEP 2부호가 바뀌는 구간은 $(0,1)$과 $(3,4)$이므로, 사잇값 정리에 의해 각 구간에 적어도 하나씩 실근이 있습니다.

STEP 3$(1,2)$, $(2,3)$은 양 끝 함숫값이 모두 양수라 실근이 있다고 보장할 수 없습니다. 따라서 $n=2$입니다.

정답: 2

여기서 많이 틀려요 · 양 끝 부호가 같은 구간에도 실근이 있을 수는 있지만, "적어도"를 묻는 문제에서는 반드시 보장되는 개수만 셉니다.

서답형 2번함수의 극한★★★

핵심 개념 · 극한 조건에서 인수 (x−2)를 꺼내고, 몫의 함숫값으로 나머지를 정한다

다항식에 대한 극한 조건이 주어질 때, 그 다항식을 (x−2)²으로 나눈 나머지를 구하는 단답형 문제입니다.

STEP 1분모 $4-x^2$이 $0$으로 가므로 분자도 $0$으로 가야 하고, $f(2)=0$입니다. 따라서 $f(x)=(x-2)Q(x)$로 놓을 수 있습니다.

STEP 2$\frac{f(x)}{4-x^2}=\frac{(x-2)Q(x)}{-(x-2)(x+2)}=-\frac{Q(x)}{x+2}$이므로 극한값은 $-\frac{Q(2)}{4}=-2$, 즉 $Q(2)=8$입니다.

STEP 3$Q(x)=(x-2)T(x)+8$로 놓으면 $f(x)=(x-2{)}^{2}T(x)+8(x-2)$이므로 나머지는 $8x-16$입니다.

정답: 8x − 16

서답형 3번함수의 연속★★★

핵심 개념 · 연속 조건으로 계수를 정한 뒤 구간별로 최댓값·최솟값을 찾는다

x=2를 경계로 두 분수식으로 정의된 함수가 실수 전체에서 연속일 때, 주어진 닫힌구간에서의 최댓값과 최솟값의 비를 구하는 단답형 문제입니다.

STEP 1$x\ge 2$의 식에서 $f(2)=\frac{-4+5}{1}=1$입니다. $x<2$의 식은 $x\to 2^{-}$일 때 분모가 $0$으로 가므로, 좌극한이 존재하려면 분자도 $0$이어야 하고 $4+2a+b=0$입니다.

STEP 2이때 $x^2+ax+b=(x-2)(x+a+2)$이므로 $x<2$에서 식은 $x+a+2$이고, 좌극한은 $a+4$입니다. $a+4=1$에서 $a=-3$, $b=2$이므로 $x<2$에서 $f(x)=x-1$입니다.

STEP 3$[-1,2)$에서 $f(x)=x-1$은 증가하므로 값은 $-2$부터 $1$에 가까운 값까지입니다. $[2,4]$에서 $f(x)=-2+\frac{3}{x-1}$은 감소하므로 $f(2)=1$에서 $f(4)=-1$까지입니다.

STEP 4따라서 $M=f(2)=1$, $m=f(-1)=-2$이고 $\frac{M}{m}=-\frac{1}{2}$입니다.

정답: $-\frac{1}{2}$

서답형 4번함수의 극한★★★

핵심 개념 · 부호가 바뀌는 점에서 절댓값이 든 극한이 수렴하려면 분자도 0이어야 한다

이차함수와 최고차항의 계수가 1인 사차함수에 대하여, 절댓값이 들어간 두 극한이 모든 실수에서 수렴할 때 사차함수의 x=0에서의 값을 구하는 단답형 문제입니다.

STEP 1$f(x)=(x-2)(x-3)$이고, $\frac{|f(x)|\times g(x)}{f(x)}$는 $f(x)$의 부호에 따라 $g(x)$ 또는 $-g(x)$입니다. $f$의 부호가 바뀌는 $x=2,3$에서 극한이 수렴하려면 $g(2)=g(3)=0$이어야 합니다.

STEP 2따라서 $g(x)=(x-2)(x-3)h(x)$, $h(x)=x^2+px+q$로 놓을 수 있고, $2f(x)-g(x)=(x-2)(x-3)\{2-h(x)\}$입니다.

STEP 3$h(x)\ne 0$인 곳에서 $\frac{|2f(x)-g(x)|}{g(x)}=\frac{|(x-2)(x-3)|}{(x-2)(x-3)}\times \frac{|2-h(x)|}{h(x)}$입니다. 앞의 인수는 $x=2,3$의 양쪽에서 값이 $1$과 $-1$로 바뀌므로, 극한이 수렴하려면 뒤의 인수가 $0$으로 가야 하고 $h(2)=2$, $h(3)=2$여야 합니다.

STEP 4$h(x)-2=(x-2)(x-3)$이므로 $h(x)=x^2-5x+8$입니다. 판별식이 $25-32<0$이라 $h(x)$는 $0$이 되는 실수가 없어, 다른 점에서 분모가 $0$이 되는 문제도 생기지 않습니다.

STEP 5$g(x)=(x-2)(x-3)(x^2-5x+8)$이므로 $g(0)=(-2)\times (-3)\times 8=48$입니다.

정답: 48

서답형 5번도함수의 활용★★★

핵심 개념 · 접선의 방정식을 구하고, 점과 직선 사이의 거리로 반지름을 구한다

삼차곡선 위의 한 점에서의 접선이 주어진 점을 중심으로 하는 원에 접할 때, 반지름의 제곱을 구하는 서술형 문제입니다.

STEP 1$y=\frac{1}{4}{x}^3-2$에서 $y^{\prime }=\frac{3}{4}{x}^2$이므로 점 $(2,0)$에서의 접선의 기울기는 $\frac{3}{4}\times 4=3$입니다.

STEP 2접선의 방정식은 $y=3(x-2)$, 즉 $3x-y-6=0$입니다.

STEP 3원이 이 직선에 접하므로 반지름은 중심 $(-2,2)$에서 직선까지의 거리입니다. $$r=\frac{|3\times (-2)-2-6|}{\sqrt{3^2+(-1{)}^2}}=\frac{14}{\sqrt{10}}$$

STEP 4$r^2=\frac{196}{10}=\frac{98}{5}$입니다.

정답: $\frac{98}{5}$

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2026년 연수고 2학년 2학기 중간고사, 이렇게 준비하세요

첫째, 그래프가 주어진 극한·연속 문제는 점마다 "좌극한·우극한·함숫값" 세 칸을 직접 적어 보세요. 이번 시험의 6번과 13번은 값이 어느 쪽에서 다가오는지(2보다 작은 쪽인지, 큰 쪽인지)에 따라 답이 갈렸습니다. 열린 점과 닫힌 점, 극댓값 근처에서 다가오는 방향까지 표시하는 습관이 필요합니다.

둘째, 연속 문제는 경계점만 보고 끝내지 마세요. 14번의 이차항 계수가 0인 경우, 15번의 다른 구간에서 분모가 0이 되는 점, 16번의 주기로 이어지는 경계처럼, 13~16번은 모두 "한 군데 더" 확인해야 하는 조건이 있었습니다. 풀이를 마친 뒤 정의역 전체를 한 번 훑어보는 단계를 넣으면 실수가 크게 줄어듭니다.

셋째, 0/0 꼴 극한은 "분자도 0 → 인수 꺼내기 또는 미분계수의 정의로 바꾸기"의 두 갈래로 정리해 두세요. 5·7·9번과 서답형 2·4번이 모두 이 흐름이었고, 특히 서답형 4번처럼 조건을 두 번 겹쳐 쓰는 문제는 이 흐름이 손에 익어 있어야 시간 안에 풀 수 있습니다.

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풀이 중에 이해가 안 되는 단계가 있거나 다른 방법으로 푼 풀이가 궁금하면 댓글로 남겨 주세요. 확인하는 대로 답글을 드리겠습니다. 인천 지역 다른 고등학교의 기출 해설도 계속 정리해 올리겠습니다.

일등급솔루션학원 · 좋은 습관은 인생을 바꾼다
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