능허대중 3학년 2학기 기말고사 수학 기출 해설 (2025) | 전 문항 풀이

수학 독립만세입니다.

이번 글은 능허대중학교 3학년 2025학년도 2학기 기말고사 수학 해설입니다. 시험 범위는 삼각비, 원의 성질, 통계 세 단원이었고, 25문항이 모두 객관식으로 나왔습니다. 특수각의 삼각비를 정확히 쓰는지, 원 그림에서 같은 크기의 각과 같은 길이의 선분을 찾아내는지를 고르게 물은 시험입니다. 2026년 기말고사를 앞둔 능허대중 3학년 학생과, 시험 수준을 미리 가늠해 보고 싶은 학부모님께 도움이 되었으면 합니다.

먼저 문항별 단원·핵심 개념·배점 기준 난이도를 표로 정리했고, 번호를 누르면 해당 풀이로 바로 넘어갑니다. 그다음 시험 전체의 출제 흐름을 짚고, 1번부터 25번까지 중학교 3학년 범위의 개념만으로 단계별 풀이를 적었습니다. 실수가 자주 나오는 몇 문항에는 주의할 점을 따로 달아 두었습니다.

학교 시험지 원문은 저작권 보호 대상이라 이 글에 그대로 옮기지 않았습니다. 대신 문항마다 무엇을 묻는 문제인지 한두 문장으로 요약하고, 풀이 과정은 단계별로 빠짐없이 적었습니다. 어떤 개념을 어떤 순서로 쓰면 답에 닿는지는 이 글만 보셔도 충분히 따라오실 수 있습니다.

능허대중학교 기출문제를 먼저 풀어보고 싶다면

해설부터 읽으면 다 아는 문제처럼 보이지만, 시험지를 혼자 펼치면 생각보다 손이 자주 멈춥니다. 아래 글에서 기출문제를 무료로 보는 방법을 확인해 먼저 직접 풀어 보시고, 다 푼 뒤 이 페이지로 돌아와 채점과 풀이를 확인해 보세요.

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능허대중 3학년 2학기 기말고사(2025) 문항별 단원·난이도 한눈에 보기

번호	단원	핵심 개념	난이도 (배점 기준)
1	삼각비	빗변과 한 변으로 나머지 변을 구한 뒤 사인의 정의를 쓴다	★☆☆
2	원과 직선	원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분한다	★☆☆
3	삼각비	45°에서 두 변이 같고, 60°의 탄젠트로 이웃한 변을 구한다	★★☆
4	삼각비	30°·45° 직각삼각형을 차례로 찾고, 직사각형의 마주 보는 변이 같음을 쓴다	★★☆
5	삼각비	예각 x에 대하여 사인 값은 0과 1 사이	★★☆
6	삼각비	반지름 1인 원에서는 빗변이 1인 삼각형의 변이 곧 삼각비 값	★★☆
7	삼각비의 활용	수선을 그어 60°와 45°의 직각삼각형 두 개로 나눈다	★★☆
8	삼각비의 활용	대각선으로 나눈 두 삼각형의 넓이를 '두 변과 끼인각'으로 각각 구해 더한다	★★☆
9	삼각비의 활용	올려본각의 탄젠트로 높이를 구하고 눈높이를 더한다	★★☆
10	삼각비	직각삼각형의 높이가 만드는 각은 반대쪽 예각과 같다	★★☆
11	삼각비의 활용	정삼각형의 높이로 이등변삼각형을 만들고, 넓이를 두 가지로 나타낸다	★★★
12	원과 직선	접점을 지나는 반지름은 접선에 수직이고, 현을 이등분한다	★★☆
13	원과 직선	원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다	★★☆
14	원과 직선	내접원의 접점까지의 접선의 길이가 같으므로 이등변삼각형이 생긴다	★★☆
15	원과 직선	접선과 반지름이 수직이므로 사각형 PAOB의 두 각이 90°	★★☆
16	원주각	지름에 대한 원주각은 90°, 원주각은 중심각의 절반	★★☆
17	원주각	한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같다	★★☆
18	원주각	지름에 대한 원주각 90°와 같은 호의 원주각으로 닮은 직각삼각형을 찾는다	★★★
19	원주각	선분 BC의 같은 쪽에서 ∠BAC=∠BDC이면 네 점은 한 원 위에 있다	★★☆
20	원주각	원에 내접하는 사각형의 외각은 마주 보는 내각과 같고, 중심각은 원주각의 2배	★★☆
21	대푯값	중앙값은 크기순으로 나열한 가운데 값, 최빈값은 가장 많이 나온 값	★☆☆
22	대푯값	최빈값이 존재하려면 a가 이미 있는 값 중 하나여야 한다	★★☆
23	산포도	(편차)²의 총합 = 분산 × 학생 수	★★☆
24	산포도	각 변량에 a를 곱하고 b를 더하면 평균은 a배 후 b 증가, 분산은 a²배	★★☆
25	산포도	평균과 같은 값이 빠지면 평균은 그대로, (편차)²의 총합도 그대로	★★★

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능허대중 3학년 2025 2학기 기말 수학, 출제 흐름

단원별로 보면 삼각비가 10문항(1번, 3-11번), 원의 성질이 10문항(2번, 12-20번), 통계가 5문항(21-25번)으로, 삼각비와 원이 시험의 대부분을 차지했습니다. 삼각비는 정의를 묻는 기본 문항(1·3·5·10번)과, 수선을 긋거나 삼각형으로 나누어 길이·넓이를 구하는 활용 문항(7·8·9·11번)이 고르게 섞였습니다. 원의 성질은 현의 수직이등분선과 접선의 길이(2·12-15번)로 시작해 원주각과 원에 내접하는 사각형(16-20번)으로 이어졌습니다.

배점이 큰 5점 문항은 11번(정사면체 단면 삼각형의 넓이와 사인 값), 18번(외접원의 지름과 수선으로 만든 닮은 삼각형), 25번(한 명이 빠진 뒤의 표준편차) 세 문항입니다. 4점 문항 중에서는 30°와 45° 직각삼각형을 차례로 찾아야 하는 4번, 보기를 하나씩 따져 보아야 하는 6번(삼각비)과 19번(네 점이 한 원 위에 있을 조건), 두 원에 내접하는 사각형을 연달아 쓰는 20번에서 시간이 많이 걸렸을 것입니다.

통계는 중앙값·최빈값(21·22번)과 분산·표준편차(23-25번)가 나왔는데, 모두 계산 자체는 길지 않습니다. 다만 22번처럼 최빈값이 생기는 조건을 따지거나, 23·25번처럼 '(편차)²의 총합'으로 바꾸어 생각해야 하는 문항이 있어 공식만 외운 학생과 원리를 이해한 학생의 차이가 드러났을 문항입니다.

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능허대중 3학년 2학기 기말고사 수학 전 문항 단계별 풀이

1번삼각비★☆☆

핵심 개념 · 빗변과 한 변으로 나머지 변을 구한 뒤 사인의 정의를 쓴다

직각삼각형에서 빗변과 다른 한 변의 길이가 주어질 때, 한 예각의 사인 값을 구하는 문제입니다.

이 문제는 피타고라스 정리로 모르는 변을 먼저 구하고, 사인의 정의(높이 ÷ 빗변)를 적용하는 문제입니다.

STEP 1∠C=90°이므로 빗변은 $\overline{AB}=4$이고 $\overline{AC}=3$입니다. 피타고라스 정리에 의해 $$\overline{BC}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$$

STEP 2∠A의 맞은편 변은 $\overline{BC}$이므로 $$\sin A=\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=\frac{\sqrt{7}}{4}$$

정답: ① $\frac{\sqrt{7}}{4}$

2번원과 직선★☆☆

핵심 개념 · 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분한다

원의 중심에서 현에 내린 수선의 길이와 현의 길이가 주어질 때, 원의 반지름의 길이를 구하는 문제입니다.

이 문제는 현의 수직이등분선 성질로 직각삼각형을 만든 뒤 피타고라스 정리를 쓰는 문제입니다.

STEP 1$\overline{OM}\perp \overline{AB}$이므로 점 M은 현 AB의 중점입니다. 따라서 $$\overline{AM}=\frac{1}{2}\times 8=4\text{(cm)}$$

STEP 2반지름 $\overline{OA}$는 직각삼각형 OAM의 빗변이므로 $$\overline{OA}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\text{(cm)}$$

정답: ⑤ $2\sqrt{5}$ cm

3번삼각비★★☆

핵심 개념 · 45°에서 두 변이 같고, 60°의 탄젠트로 이웃한 변을 구한다

변 하나를 공유하는 두 직각삼각형에서 한 변의 길이와 두 각의 크기가 주어질 때, 다른 삼각형의 한 변의 길이를 구하는 문제입니다.

이 문제는 공통인 변 BC를 먼저 구한 뒤, 두 번째 직각삼각형에서 탄젠트를 쓰는 문제입니다.

STEP 1직각삼각형 ABC에서 ∠B=90°, ∠BAC=45°이므로 직각이등변삼각형입니다. 따라서 $$\overline{BC}=\overline{AB}=3\text{(cm)}$$

STEP 2직각삼각형 DBC에서 ∠C=90°, ∠BDC=60°이고, $\overline{BC}$는 ∠BDC의 맞은편 변, $\overline{CD}$는 이웃한 변입니다. $$\tan 60^{\circ }=\frac{\overline{BC}}{\overline{CD}}\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{3}{\overline{CD}}\Rightarrow \overline{CD}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\text{(cm)}$$

정답: ② $\sqrt{3}$ cm

4번삼각비★★☆

핵심 개념 · 30°·45° 직각삼각형을 차례로 찾고, 직사각형의 마주 보는 변이 같음을 쓴다

30°를 품은 직각삼각형과 그 빗변 위에 세운 직각이등변삼각형, 그리고 직사각형이 함께 있는 그림에서 한 선분의 길이를 구하는 문제입니다.

이 문제는 그림 속의 30°, 45° 직각삼각형을 하나씩 찾아 변의 길이를 이어서 구하는 문제입니다. 75° 같은 특수각이 아닌 각은 쓰지 않아도 됩니다.

STEP 1직각삼각형 ABC에서 ∠ABC=90°, ∠CAB=30°, $\overline{BC}=5$이므로 $$\overline{AB}=\frac{\overline{BC}}{\tan 30^{\circ }}=5\sqrt{3}\text{(cm)}$$

STEP 2사각형 DEBF가 직사각형이므로 ∠AEB=90°이고, $\overline{AE}=\overline{BE}$이므로 삼각형 ABE는 직각이등변삼각형입니다. 따라서 ∠BAE=∠ABE=45°이고 $$\overline{AE}=\overline{AB}\sin 45^{\circ }=5\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{6}}{2}\text{(cm)}$$

STEP 3$\overline{FB}\parallel \overline{AE}$이므로 ∠ABF=∠BAE=45°(엇각)입니다. ∠ABC=90°이므로 ∠CBF=90°−45°=45°이고, 삼각형 CFB는 ∠CFB=90°인 직각이등변삼각형입니다. $$\overline{FB}=\overline{BC}\cos 45^{\circ }=5\times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}\text{(cm)}$$

STEP 4직사각형에서 $\overline{DE}=\overline{FB}$이므로 $$\overline{AD}=\overline{AE}-\overline{DE}=\frac{5\sqrt{6}}{2}-\frac{5\sqrt{2}}{2}=\frac{5}{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})$$

STEP 5삼각형 AGD는 ∠ADG=90°, ∠GAD=45°인 직각이등변삼각형이므로 $$\overline{GD}=\overline{AD}=\frac{5}{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})\text{(cm)}$$

정답: ③ $\frac{5}{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})$ cm

5번삼각비★★☆

핵심 개념 · 예각 x에 대하여 사인 값은 0과 1 사이

예각에 대한 사인 값이 들어 있는 두 제곱근 식의 합을 간단히 하는 문제입니다.

이 문제는 사인 값의 범위로 근호 안의 식의 부호를 판단해 근호를 벗기는 문제입니다.

STEP 1$0^{\circ }<x<90^{\circ }$이면 $0<\sin x<1$입니다. 따라서 $\sin x+1>0$, $\sin x-1<0$입니다.

STEP 2$\sqrt{a^2}$은 $a\ge 0$이면 $a$, $a<0$이면 $-a$이므로 $$\sqrt{(\sin x+1{)}^2}+\sqrt{(\sin x-1{)}^2}=(\sin x+1)+\{-(\sin x-1)\}$$$$=\sin x+1-\sin x+1=2$$

정답: ③ 2

여기서 많이 틀려요 · $\sqrt{(\sin x-1{)}^2}$을 그대로 $\sin x-1$로 벗기면 답이 $2\sin x$가 됩니다. 근호를 벗길 때는 안쪽 식의 부호부터 확인하세요.

6번삼각비★★☆

핵심 개념 · 반지름 1인 원에서는 빗변이 1인 삼각형의 변이 곧 삼각비 값

반지름이 1인 사분원 위의 점과 접선으로 만든 그림에서, 삼각비 값을 선분의 길이로 나타낸 보기 중 옳은 것을 모두 고르는 문제입니다.

이 문제는 빗변이 1인 직각삼각형 OAB와 밑변이 1인 직각삼각형 OCD를 찾고, 크기가 같은 각을 이용하는 문제입니다.

STEP 1$\overline{OA}=\overline{OC}=1$입니다. 직각삼각형 OAB에서 x=∠AOB, y=∠OAB이고, $\overline{AB}\parallel \overline{DC}$이므로 z=∠ODC=y(동위각)입니다.

STEP 2ㄱ. $\sin x=\frac{\overline{AB}}{\overline{OA}}=\overline{AB}$ (옳다)
ㄴ. $\cos y=\frac{\overline{AB}}{\overline{OA}}=\overline{AB}$이므로 $\overline{OB}$가 아니다. (옳지 않다)
ㄷ. $\sin y=\frac{\overline{OB}}{\overline{OA}}=\overline{OB}$ (옳다)

STEP 3ㄹ. 직각삼각형 OCD에서 $\tan z=\frac{\overline{OC}}{\overline{CD}}=\frac{1}{\overline{CD}}$이므로 $\overline{CD}$가 아니다. (옳지 않다)
ㅁ. $\tan z=\tan y=\frac{\overline{OB}}{\overline{AB}}$이므로 $\sin x\times \tan z=\overline{AB}\times \frac{\overline{OB}}{\overline{AB}}=\overline{OB}$이고, $\overline{OD}$는 반지름 1보다 길어 $\overline{OB}$와 다르다. (옳지 않다)
ㅂ. $\cos x\times \tan x=\frac{\overline{OB}}{1}\times \frac{\overline{AB}}{\overline{OB}}=\overline{AB}$ (옳다)

STEP 4옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㅂ입니다.

정답: ④ ㄱ, ㄷ, ㅂ

여기서 많이 틀려요 · ㄴ은 $\cos y$를 x의 코사인처럼 $\overline{OB}$로 착각하기 쉬운 보기입니다. y는 꼭짓점 A의 각이므로 y에 이웃한 변은 $\overline{AB}$입니다.

7번삼각비의 활용★★☆

핵심 개념 · 수선을 그어 60°와 45°의 직각삼각형 두 개로 나눈다

삼각형의 한 변의 길이와 두 각의 크기가 주어질 때, 측량으로 다른 한 변(연못의 폭)의 길이를 구하는 문제입니다.

이 문제는 꼭짓점 A에서 마주 보는 변에 수선을 그어, 특수각을 가진 직각삼각형 두 개로 나누는 문제입니다.

STEP 1삼각형의 세 내각의 합은 180°이므로 ∠C=180°−(75°+45°)=60°입니다.

STEP 2점 A에서 $\overline{BC}$에 내린 수선의 발을 H라 하면, 직각삼각형 AHC에서 $$\overline{AH}=6\sin 60^{\circ }=6\times \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{(m)}$$

STEP 3직각삼각형 ABH에서 ∠B=45°이므로 $$\overline{AB}=\frac{\overline{AH}}{\sin 45^{\circ }}=3\sqrt{3}\times \sqrt{2}=3\sqrt{6}\text{(m)}$$

정답: ⑤ $3\sqrt{6}$ m

8번삼각비의 활용★★☆

핵심 개념 · 대각선으로 나눈 두 삼각형의 넓이를 '두 변과 끼인각'으로 각각 구해 더한다

네 변 중 일부의 길이와 두 내각의 크기가 주어진 사각형의 넓이를 구하는 문제입니다.

이 문제는 대각선 AC를 그어 사각형을 두 삼각형으로 나누고, 두 변의 길이와 그 끼인각으로 넓이를 구하는 문제입니다.

STEP 1삼각형 ABC는 $\overline{AB}=\sqrt{2}$, $\overline{BC}=2$이고 끼인각 ∠B=135°가 둔각이므로 $\sin (180^{\circ }-135^{\circ })=\sin 45^{\circ }$를 씁니다. $$△ABC=\frac{1}{2}\times \sqrt{2}\times 2\times \sin 45^{\circ }=\frac{1}{2}\times \sqrt{2}\times 2\times \frac{\sqrt{2}}{2}=1{\text{(cm}}^2)$$

STEP 2삼각형 ACD는 $\overline{CD}=4$, $\overline{AD}=4\sqrt{3}$이고 끼인각 ∠D=60°이므로 $$△ACD=\frac{1}{2}\times 4\times 4\sqrt{3}\times \sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\times 16\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=12{\text{(cm}}^2)$$

STEP 3$$\square ABCD=△ABC+△ACD=1+12=13{\text{(cm}}^2)$$

정답: ① 13 cm²

9번삼각비의 활용★★☆

핵심 개념 · 올려본각의 탄젠트로 높이를 구하고 눈높이를 더한다

건물에서 일정 거리 떨어진 곳에서 건물 꼭대기를 올려본각과 눈높이가 주어질 때, 건물의 높이를 구하는 문제입니다.

이 문제는 눈높이에서 그은 수평선 위로 생긴 직각삼각형에 탄젠트를 쓰고, 마지막에 눈높이를 더하는 문제입니다.

STEP 1직각삼각형 ABC에서 $\overline{BC}=10$ m, ∠ABC=37°이므로 $$\overline{AC}=10\tan 37^{\circ }=10\times 0.75=7.5\text{(m)}$$

STEP 2건물의 높이는 $\overline{AC}$에 눈높이 1.6 m를 더한 값이므로 $$7.5+1.6=9.1\text{(m)}$$

정답: ⑤ 9.1 m

10번삼각비★★☆

핵심 개념 · 직각삼각형의 높이가 만드는 각은 반대쪽 예각과 같다

직각삼각형의 직각인 꼭짓점에서 빗변에 수선을 그어 생긴 두 각에 대하여, 사인 값과 코사인 값의 합을 구하는 문제입니다.

이 문제는 수선이 만든 각 x, y를 원래 삼각형의 ∠B, ∠A로 바꾸어 큰 삼각형의 세 변으로 계산하는 문제입니다.

STEP 1직각삼각형 ABC에서 $$\overline{AB}=\sqrt{2^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{7}$$

STEP 2삼각형 ACH에서 ∠x=90°−∠A이고, 삼각형 ABC에서 ∠B=90°−∠A이므로 ∠x=∠B입니다. 같은 이유로 ∠y=∠A입니다.

STEP 3$$\sin x=\sin B=\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\frac{2}{\sqrt{7}},\cos y=\cos A=\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\frac{2}{\sqrt{7}}$$

STEP 4$$\sin x+\cos y=\frac{4}{\sqrt{7}}=\frac{4\sqrt{7}}{7}$$

정답: ④ $\frac{4\sqrt{7}}{7}$

11번삼각비의 활용★★★

핵심 개념 · 정삼각형의 높이로 이등변삼각형을 만들고, 넓이를 두 가지로 나타낸다

한 모서리의 길이가 주어진 정사면체에서, 한 모서리의 중점과 다른 두 꼭짓점으로 만든 삼각형의 넓이와 그 꼭지각의 사인 값을 구하는 문제입니다.

이 문제는 삼각형 ABE의 넓이를 '밑변 × 높이'와 '두 변과 끼인각' 두 가지 방법으로 구해 사인 값을 얻는 문제입니다.

STEP 1정사면체의 각 면은 한 변이 4 cm인 정삼각형이고, $\overline{AE}$, $\overline{BE}$는 정삼각형 ACD, BCD의 높이이므로 $$\overline{AE}=\overline{BE}=\frac{\sqrt{3}}{2}\times 4=2\sqrt{3}\text{(cm)}$$

STEP 2이등변삼각형 ABE에서 $\overline{AB}$의 중점을 M이라 하면 $\overline{EM}\perp \overline{AB}$, $\overline{AM}=2$이므로 $$\overline{EM}=\sqrt{(2\sqrt{3}{)}^2-2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$$$△ABE=\frac{1}{2}\times 4\times 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}{\text{(cm}}^2)$$

STEP 3같은 넓이를 두 변 AE, BE와 끼인각 ∠AEB=x°로 나타내면 $$\frac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times 2\sqrt{3}\times \sin x^{\circ }=6\sin x^{\circ }=4\sqrt{2}\Rightarrow \sin x^{\circ }=\frac{4\sqrt{2}}{6}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$

정답: ① $4\sqrt{2}$ cm², $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

12번원과 직선★★☆

핵심 개념 · 접점을 지나는 반지름은 접선에 수직이고, 현을 이등분한다

중심이 같은 두 원에서 큰 원의 현이 작은 원에 접하고 두 원 사이의 넓이가 주어질 때, 그 현의 길이를 구하는 문제입니다.

이 문제는 접점까지의 반지름으로 직각삼각형을 만들어, 넓이 식의 R²−r²을 현의 절반의 제곱으로 바꾸는 문제입니다.

STEP 1큰 원의 반지름을 R, 작은 원의 반지름을 r, 현 AB와 작은 원의 접점을 H라 하면 $\overline{OH}\perp \overline{AB}$이고 $\overline{AH}=\overline{BH}$입니다.

STEP 2직각삼각형 OAH에서 ${\overline{AH}}^2=R^2-r^2$입니다. 색칠한 부분의 넓이가 $\pi R^2-\pi r^2=64\pi$이므로 $$R^2-r^2=64\Rightarrow {\overline{AH}}^2=64,\overline{AH}=8$$

STEP 3$$\overline{AB}=2\overline{AH}=16\text{(cm)}$$

정답: ④ 16 cm

13번원과 직선★★☆

핵심 개념 · 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다

원 밖의 한 점에서 그은 두 접선과 원에 접하는 세 번째 접선으로 삼각형이 만들어질 때, 그 삼각형의 둘레의 길이를 구하는 문제입니다.

이 문제는 접선의 길이가 같다는 성질을 세 번 써서 삼각형의 둘레를 두 접선의 길이의 합으로 바꾸는 문제입니다.

STEP 1$\overline{OD}\perp \overline{AD}$이므로 직각삼각형 AOD에서 $$\overline{AD}=\sqrt{10^2-6^2}=8\text{(cm)},\overline{AE}=\overline{AD}=8\text{(cm)}$$

STEP 2점 B, C에서 그은 접선의 길이도 각각 같으므로 $\overline{BF}=\overline{BD}$, $\overline{CF}=\overline{CE}$입니다.

STEP 3삼각형 ABC의 둘레는 $$\overline{AB}+\overline{BF}+\overline{FC}+\overline{CA}$$$$=\overline{AB}+\overline{BD}+\overline{CE}+\overline{CA}=\overline{AD}+\overline{AE}=16\text{(cm)}$$

정답: ③ 16 cm

14번원과 직선★★☆

핵심 개념 · 내접원의 접점까지의 접선의 길이가 같으므로 이등변삼각형이 생긴다

삼각형의 내접원 위의 세 접점으로 만든 삼각형에서, 두 각의 크기의 차를 구하는 문제입니다.

이 문제는 꼭짓점 B, C에서 내접원까지의 접선의 길이가 같다는 것으로 이등변삼각형 두 개를 찾는 문제입니다.

STEP 1∠C=180°−(60°+50°)=70°입니다.

STEP 2$\overline{BD}=\overline{BE}$이므로 삼각형 BDE는 이등변삼각형이고 $$\angle BDE=\frac{180^{\circ }-50^{\circ }}{2}=65^{\circ }$$

STEP 3$\overline{CE}=\overline{CF}$이므로 삼각형 CEF는 이등변삼각형이고 $$\angle FEC=\frac{180^{\circ }-70^{\circ }}{2}=55^{\circ }$$

STEP 4$$\angle BDE-\angle FEC=65^{\circ }-55^{\circ }=10^{\circ }$$

정답: ② 10°

15번원과 직선★★☆

핵심 개념 · 접선과 반지름이 수직이므로 사각형 PAOB의 두 각이 90°

원 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 이루는 각과 반지름이 주어질 때, 색칠한 부채꼴의 넓이를 구하는 문제입니다.

이 문제는 사각형 PAOB의 내각의 합으로 ∠AOB를 구한 뒤, 색칠한 부채꼴의 중심각을 찾는 문제입니다.

STEP 1$\overline{OA}\perp \overline{PA}$, $\overline{OB}\perp \overline{PB}$이므로 사각형 PAOB에서 $$\angle AOB=360^{\circ }-(90^{\circ }+90^{\circ }+45^{\circ })=135^{\circ }$$

STEP 2색칠한 부분은 점 P 반대쪽의 큰 부채꼴이므로 중심각은 $360^{\circ }-135^{\circ }=225^{\circ }$입니다.

STEP 3$$\pi \times 6^2\times \frac{225}{360}=36\pi \times \frac{5}{8}=\frac{45}{2}\pi =22.5\pi {\text{(cm}}^2)$$

정답: ④ 22.5π cm²

여기서 많이 틀려요 · 135°짜리 작은 부채꼴의 넓이(13.5π)를 구하고 멈추면 ①을 고르게 됩니다. 그림에서 색칠한 쪽이 어느 부채꼴인지 먼저 확인하세요.

16번원주각★★☆

핵심 개념 · 지름에 대한 원주각은 90°, 원주각은 중심각의 절반

반원의 지름 양 끝에서 반원 위의 두 점을 지나는 직선을 그어 만나는 점이 있을 때, 그 점에서의 각의 크기를 구하는 문제입니다.

이 문제는 보조선 AD를 그어 지름에 대한 원주각(90°)과 호 CD에 대한 원주각을 이용하는 문제입니다.

STEP 1$\overline{AD}$를 그으면 $\overline{AB}$가 지름이므로 ∠ADB=90°이고, 따라서 ∠ADP=90°입니다.

STEP 2호 CD에 대한 원주각은 중심각의 절반이므로 $$\angle CAD=\frac{1}{2}\angle COD=\frac{1}{2}\times 32^{\circ }=16^{\circ }$$

STEP 3삼각형 APD에서 $$\angle x=\angle APD=180^{\circ }-(90^{\circ }+16^{\circ })=74^{\circ }$$

정답: ② 74°

17번원주각★★☆

핵심 개념 · 한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같다

한 원 위의 다섯 점으로 만든 그림에서 직각인 원주각과 다른 원주각 하나가 주어질 때, 표시된 각의 크기를 구하는 문제입니다.

이 문제는 같은 호에 대한 원주각을 두 번 옮겨서 구하는 문제입니다.

STEP 1호 BC에 대한 원주각은 같으므로 $\angle BAC=\angle BEC=35^{\circ }$입니다.

STEP 2삼각형 ABC에서 ∠ABC=90°이므로 $$\angle ACB=180^{\circ }-(90^{\circ }+35^{\circ })=55^{\circ }$$

STEP 3$\angle x=\angle ADB$는 호 AB에 대한 원주각이므로 $\angle ACB$와 같습니다. $$\angle x=55^{\circ }$$

정답: ③ 55°

18번원주각★★★

핵심 개념 · 지름에 대한 원주각 90°와 같은 호의 원주각으로 닮은 직각삼각형을 찾는다

삼각형의 외접원의 지름과 꼭짓점에서 대변에 내린 수선이 그려진 그림에서, 두 변의 길이와 반지름이 주어질 때 한 선분의 길이를 구하는 문제입니다.

이 문제는 지름 AD로 생긴 직각삼각형 ABD와 수선으로 생긴 직각삼각형 AHC가 닮음임을 이용하는 문제입니다.

STEP 1$\overline{AD}=2\times 9=18$이고, $\overline{AD}$가 지름이므로 ∠ABD=90°입니다. $$\overline{BD}=\sqrt{18^2-12^2}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\text{(cm)}$$

STEP 2호 AB에 대한 원주각이므로 ∠ADB=∠ACB=∠ACH이고, ∠ABD=∠AHC=90°이므로 △ABD∽△AHC (AA 닮음)입니다.

STEP 3$$\overline{AD}:\overline{AC}=\overline{BD}:\overline{HC}\Rightarrow 18:8=6\sqrt{5}:\overline{CH}$$$$\overline{CH}=\frac{8\times 6\sqrt{5}}{18}=\frac{8\sqrt{5}}{3}\text{(cm)}$$

STEP 4(검산: $\cos (\angle ACH)=\frac{\overline{BD}}{\overline{AD}}=\frac{6\sqrt{5}}{18}=\frac{\sqrt{5}}{3}$이므로 $\overline{CH}=8\times \frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{8\sqrt{5}}{3}$)

정답: ⑤ $\frac{8\sqrt{5}}{3}$ cm

19번원주각★★☆

핵심 개념 · 선분 BC의 같은 쪽에서 ∠BAC=∠BDC이면 네 점은 한 원 위에 있다

다섯 가지 그림 중에서 네 점이 한 원 위에 있는 것을 고르는 문제입니다.

이 문제는 각 그림에서 같은 선분을 바라보는 두 각을 계산해 서로 같은지 확인하는 문제입니다.

STEP 1① ∠BAC=70°, ∠BDC=75°로 서로 다릅니다.
② ∠ADB=45°, ∠ACB=47°로 서로 다릅니다.

STEP 2③ 두 대각선의 교점을 E라 하면 ∠AEB=90°이므로 ∠BAC=180°−(90°+35°)=55°이고, ∠BDC=60°와 다릅니다.
④ 두 대각선의 교점을 E라 하면 ∠DEC=180°−80°=100°이므로 ∠BDC=180°−(100°+40°)=40°이고, ∠BAC=35°와 다릅니다.

STEP 3⑤ 삼각형 PAC에서 ∠PAC=180°−(35°+15°)=130°이므로 ∠DAC=180°−130°=50°입니다. ∠DBC=50°와 같고, 두 점 A, B가 $\overline{DC}$의 같은 쪽에 있으므로 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있습니다.

정답: ⑤

20번원주각★★☆

핵심 개념 · 원에 내접하는 사각형의 외각은 마주 보는 내각과 같고, 중심각은 원주각의 2배

두 원이 두 점에서 만나고 각 원에 내접하는 사각형이 이어져 있는 그림에서, 한 각의 크기가 주어질 때 다른 원의 중심에서의 각의 크기를 구하는 문제입니다.

이 문제는 두 원에 내접하는 사각형의 성질을 차례로 쓰고, 마지막에 원주각과 중심각의 관계로 x를 구하는 문제입니다.

STEP 1사각형 ABQP는 원 O에 내접하므로 한 외각의 크기는 그와 이웃한 내각의 대각의 크기와 같습니다. $$\angle PQC=\angle A=102^{\circ }$$

STEP 2사각형 PQCD는 원 O′에 내접하므로 마주 보는 두 각의 합이 180°입니다. $$\angle PDC=180^{\circ }-102^{\circ }=78^{\circ }$$

STEP 3∠x는 호 PQC에 대한 중심각이고, ∠PDC는 같은 호에 대한 원주각이므로 $$\angle x=2\times 78^{\circ }=156^{\circ }$$

정답: ② 156°

여기서 많이 틀려요 · ∠PDC=78°를 구한 뒤 2배 하지 않거나, ∠PQC=102°의 2배를 중심각으로 착각하기 쉽습니다. x가 어느 호의 중심각인지 그림에서 먼저 확인하세요.

21번대푯값★☆☆

핵심 개념 · 중앙값은 크기순으로 나열한 가운데 값, 최빈값은 가장 많이 나온 값

두 모둠의 팔 굽혀 펴기 횟수 자료에서 한 모둠의 중앙값과 다른 모둠의 최빈값의 합을 구하는 문제입니다.

이 문제는 자료를 크기순으로 다시 나열해 중앙값과 최빈값을 찾는 문제입니다.

STEP 1A모둠은 9명이고 크기순으로 3, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 8, 9이므로 중앙값은 5번째 값인 5입니다. 따라서 $x=5$

STEP 2B모둠을 크기순으로 나열하면 1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 6, 6, 7이고, 6이 3번으로 가장 많으므로 최빈값은 6입니다. 따라서 $y=6$

STEP 3$$x+y=5+6=11$$

정답: ③ 11

22번대푯값★★☆

핵심 개념 · 최빈값이 존재하려면 a가 이미 있는 값 중 하나여야 한다

일곱 번의 시험 성적 중 하나가 미지수일 때, 평균과 최빈값이 같아지는 미지수의 값을 구하는 문제입니다.

이 문제는 최빈값이 무엇이 되는지를 먼저 판단한 뒤 평균에 대한 방정식을 세우는 문제입니다.

STEP 1주어진 여섯 개의 값 80, 88, 74, 90, 85, 93은 모두 다르므로, a가 이 중 어느 값과도 다르면 최빈값이 없습니다. 따라서 a는 이 중 하나이고, 최빈값은 a입니다.

STEP 2여섯 값의 합은 510이므로 평균은 $\frac{510+a}{7}$입니다. 평균과 최빈값이 같으므로 $$\frac{510+a}{7}=a\Rightarrow 510+a=7a\Rightarrow a=85$$

STEP 385는 주어진 자료에 있는 값이므로 조건을 만족합니다. (검산: 평균 $\frac{595}{7}=85$, 최빈값 85)

정답: ③ 85

여기서 많이 틀려요 · a가 기존 값과 같아야 최빈값이 생긴다는 점을 빼먹으면 방정식을 세우지 못합니다. 구한 a가 실제 자료 안에 있는지도 꼭 확인하세요.

23번산포도★★☆

핵심 개념 · (편차)²의 총합 = 분산 × 학생 수

평균이 같은 두 반의 학생 수와 표준편차가 주어질 때, 두 반 전체의 분산을 구하는 문제입니다.

이 문제는 각 반의 (편차)²의 총합을 구해 더한 뒤 전체 학생 수로 나누는 문제입니다.

STEP 1두 반의 평균이 37점으로 같으므로 전체 평균도 37점이고, 각 학생의 편차는 반별로 구한 것과 같습니다.

STEP 2A반의 분산은 $(\sqrt{3}{)}^2=3$, B반의 분산은 $(\sqrt{2}{)}^2=2$이므로 (편차)²의 총합은 A반이 $30\times 3=90$, B반이 $20\times 2=40$입니다.

STEP 3전체 분산은 $$\frac{90+40}{50}=\frac{130}{50}=2.6$$

정답: ⑤ 2.6

24번산포도★★☆

핵심 개념 · 각 변량에 a를 곱하고 b를 더하면 평균은 a배 후 b 증가, 분산은 a²배

세 변량의 평균과 분산이 주어질 때, 각 변량을 일차식으로 바꾼 새 변량의 평균, 분산, 표준편차를 구하는 문제입니다.

이 문제는 변량을 2배 하고 1을 빼면 평균·분산·표준편차가 어떻게 달라지는지 아는지 묻는 문제입니다.

STEP 1평균: $$\frac{(2a-1)+(2b-1)+(2c-1)}{3}=2\times \frac{a+b+c}{3}-1=2\times 4-1=7$$

STEP 2편차는 $(2a-1)-7=2(a-4)$처럼 원래 편차의 2배이므로 분산은 $2^2=4$배입니다. $$4\times 3=12$$

STEP 3표준편차: $$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$$

정답: ④ 7, 12, $2\sqrt{3}$

25번산포도★★★

핵심 개념 · 평균과 같은 값이 빠지면 평균은 그대로, (편차)²의 총합도 그대로

학생 9명의 성적의 평균과 분산이 주어지고 평균과 같은 점수의 학생 한 명이 빠질 때, 나머지 8명의 표준편차를 구하는 문제입니다.

이 문제는 빠진 학생의 편차가 0이라는 점을 이용해 (편차)²의 총합을 그대로 쓰는 문제입니다.

STEP 19명의 (편차)²의 총합은 $9\times 24=216$입니다.

STEP 2빠진 학생의 점수 70점은 평균과 같아 편차가 0입니다. 나머지 8명의 점수 합은 $9\times 70-70=560$이므로 평균은 $560÷8=70$점으로 그대로이고, (편차)²의 총합도 216 그대로입니다.

STEP 3분산은 $\frac{216}{8}=27$이므로 표준편차는 $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$(점)입니다.

정답: ② $3\sqrt{3}$

여기서 많이 틀려요 · 한 명이 빠졌으니 분산도 그대로 24라고 생각하면 $2\sqrt{6}$이 나오는데, 이 값은 선택지에 없습니다. (편차)²의 총합은 같아도 나누는 사람 수가 9에서 8로 바뀝니다.

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2026년 능허대중 3학년 2학기 기말고사, 이렇게 준비하세요

첫째, 특수각 30°, 45°, 60°의 삼각비는 값만 외우지 말고 직각삼각형 모양과 함께 기억하세요. 이번 시험의 3·4·7번은 그림 안에서 특수각 직각삼각형을 찾아내기만 하면 바로 풀렸고, 75° 같은 각이 보여도 30°와 45°로 쪼개면 해결되었습니다.

둘째, 원 문제는 '같은 호에 대한 원주각', '지름에 대한 원주각 90°', '접선의 길이는 같다', '원에 내접하는 사각형의 성질' 네 가지를 그림 위에 직접 표시하는 연습을 하세요. 16-20번은 모두 이 성질을 두세 번 이어서 쓰는 문제였고, x가 어느 호에 대한 각인지 먼저 확인하는 습관이 정답을 갈랐습니다.

셋째, 통계는 평균·분산 공식을 '(편차)²의 총합 = 분산 × 자료의 개수'로 바꾸어 쓰는 연습을 해 두세요. 두 집단을 합치거나(23번) 자료가 빠지는(25번) 문제는 이 한 줄로 거의 다 풀립니다.

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풀이를 따라가다 막히는 단계가 있거나 다른 방법으로 푼 풀이가 궁금하면 댓글로 남겨 주세요. 확인하는 대로 답글을 드리겠습니다. 인천 지역 다른 학교의 기출 해설도 계속 정리해 올리겠습니다.

일등급솔루션학원 · 좋은 습관은 인생을 바꾼다
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