인천중 3학년 2학기 기말고사 수학 기출 해설 (2025) | 전 문항 풀이

수학 독립만세입니다.

이번 글은 인천중학교 3학년 2025학년도 2학기 기말고사 수학 해설입니다. 삼각비와 원의 성질이 범위였던 시험으로, 공식을 외웠는지보다 그림에서 직각삼각형과 같은 각을 찾아낼 수 있는지를 많이 물었습니다. 2026년 기말고사를 준비하는 인천중 3학년 학생과, 시험 범위와 난이도를 미리 알고 싶은 학부모님께 도움이 되면 좋겠습니다.

글의 앞부분에는 문항별 단원·핵심 개념·배점 기준 난이도를 표로 정리했고, 번호를 누르면 그 문항의 풀이로 바로 이동합니다. 이어서 시험 전체의 출제 흐름을 짚은 뒤 1번부터 25번까지 단계별로 풀었습니다. 학생들이 자주 걸려 넘어지는 여섯 문항에는 주의할 점을 따로 붙였습니다.

학교 시험지 원문은 저작권 보호 대상이어서 이 글에는 싣지 않았습니다. 그 대신 문항마다 무엇을 묻는지 한두 문장으로 요약하고, 풀이는 단계별로 빠짐없이 적었습니다. 어떤 개념을 어떤 순서로 쓰면 답이 나오는지는 이 글만으로 충분히 따라오실 수 있습니다.

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인천중 3학년 2학기 기말고사(2025) 문항별 단원·난이도 한눈에 보기

번호	단원	핵심 개념	난이도 (배점 기준)
1	삼각비	코사인 값으로 밑변을 구하고 피타고라스 정리로 높이를 구한다	★☆☆
2	삼각비	탄젠트 값으로 두 변의 비를 정하고 빗변을 구한다	★☆☆
3	삼각비	30°의 사인·코사인 값으로 두 변을 구한다	★☆☆
4	삼각비	빗변이 주어지면 이웃한 변은 코사인, 마주 보는 변은 사인	★☆☆
5	삼각비	빗변 또는 밑변이 1인 직각삼각형을 찾으면 삼각비가 선분 하나의 길이가 된다	★☆☆
6	삼각비	크기가 같은 각을 찾아 큰 직각삼각형의 삼각비로 바꾼다	★★☆
7	삼각비	0°, 30°, 45°, 60°, 90°의 삼각비 값을 정확히 대입한다	★★☆
8	삼각비의 활용	수선을 그어 직각삼각형 두 개로 나눈다	★★☆
9	삼각비의 활용	평행사변형의 넓이 = 두 변의 길이 × 끼인각의 사인	★★☆
10	삼각비의 활용	대각선으로 나눈 두 삼각형의 넓이를 각각 구해 더한다	★★☆
11	원과 직선	원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분한다	★★☆
12	원과 직선	원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다	★★☆
13	원주각	반원에 대한 원주각은 90°, 원주각은 중심각의 절반	★★☆
14	원주각	접선은 접점을 지나는 반지름에 수직, 원주각은 중심각의 절반	★★☆
15	원주각	보조선으로 원에 내접하는 사각형을 만들고 원주각을 더한다	★★☆
16	원주각	접선과 현이 이루는 각은 그 각 안에 있는 호에 대한 원주각과 같다	★★☆
17	삼각비의 활용	공통인 높이를 먼저 구하고 두 밑변의 차를 이용한다	★★☆
18	원주각	호의 길이는 중심각에 정비례하고, 원주각은 중심각의 절반	★★☆
19	원주각	접선과 현이 이루는 각 = 그 각 안의 호에 대한 원주각	★★☆
20	삼각비의 활용	평행사변형의 넓이 = 두 변의 길이 × 끼인각의 사인	★★☆
21	삼각비의 활용	추의 높이 = 줄의 길이 − 줄을 수직선 위로 옮긴 길이	★★★
22	삼각비	직각삼각형 안의 같은 각을 찾아 이웃한 변을 차례로 구한다	★★★
23	원주각	반원에 대한 원주각은 90°이고, 호의 길이의 비는 원주각의 비	★★★
24	삼각비의 활용	두 변과 끼인각으로 나타낸 넓이 = 밑변과 높이로 구한 넓이	★★★
25	원과 직선	원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다	★★★

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인천중 3학년 2학기 기말고사 수학(2025), 출제 흐름

시험 범위는 삼각비와 원의 성질 두 단원이었습니다. 25문항 가운데 삼각비가 8문항(1~7번, 22번), 삼각비의 활용이 7문항(8~10번, 17번, 20번, 21번, 24번), 원과 직선이 3문항(11번, 12번, 25번), 원주각이 7문항(13~16번, 18번, 19번, 23번)으로, 삼각비 쪽이 15문항으로 조금 더 많았습니다.

앞쪽 3점 문항은 삼각비의 정의와 특수각 값만 정확하면 바로 풀리는 문제였습니다. 4점 구간부터는 그림 읽기가 중요해졌습니다. 6번은 표시된 각과 크기가 같은 각을 큰 직각삼각형에서 찾아야 했고, 16번은 각 y의 꼭짓점이 어디인지, 18번은 두 현이 만나는 네 각 중 어느 각을 묻는지 확인해야 정답이 나왔습니다. 접선과 현이 이루는 각은 12·16·19번에 거듭 쓰였습니다.

5점 문항(21~25번)은 공식 하나로 끝나지 않고 보조선이나 다른 시각이 필요했습니다. 21번은 시계추의 높이를 줄의 길이에서 빼서 구했고, 22번은 직사각형 안의 두 직각삼각형을 차례로 풀었습니다. 23번은 종이접기 상황을 반원의 호로 바꿔 읽어야 했고, 24번은 정사면체 속 삼각형의 넓이를 두 가지로 나타냈으며, 25번은 접선의 길이가 같다는 성질로 점 E가 중점임을 먼저 보여야 했습니다.

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인천중 3학년 2학기 기말 2025 전 문항 단계별 풀이

1번삼각비★☆☆

핵심 개념 · 코사인 값으로 밑변을 구하고 피타고라스 정리로 높이를 구한다

빗변의 길이와 한 예각의 코사인 값이 주어진 직각삼각형에서 나머지 한 변의 길이를 구하는 문제입니다.

이 문제는 코사인의 정의로 한 변을 구한 뒤, 피타고라스 정리로 남은 변을 구하는 문제입니다.

STEP 1∠C=90°이므로 빗변은 $\overline{AB}=10$이고, ∠B에 대하여 $$\cos B=\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{BC}}{10}=\frac{3}{5}\Rightarrow \overline{BC}=6$$

STEP 2피타고라스 정리에 의해 $$\overline{AC}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$$ (검산: $\sin B=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$이고 ${\left(\frac{4}{5}\right)}^2+{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=1$)

정답: ③ 8

2번삼각비★☆☆

핵심 개념 · 탄젠트 값으로 두 변의 비를 정하고 빗변을 구한다

한 예각의 탄젠트 값이 주어진 직각삼각형에서 같은 각의 사인 값과 코사인 값의 차를 구하는 문제입니다.

이 문제는 탄젠트 값에 맞는 직각삼각형을 하나 그려 놓고 세 변의 길이로 삼각비를 구하는 문제입니다.

STEP 1∠B=90°이므로 $\tan A=\frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}=3$입니다. $\overline{AB}=1$, $\overline{BC}=3$인 직각삼각형으로 생각해도 삼각비는 같습니다.

STEP 2빗변은 $$\overline{AC}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$$ 이므로 $\sin A=\frac{3}{\sqrt{10}}$, $\cos A=\frac{1}{\sqrt{10}}$입니다.

STEP 3$$\sin A-\cos A=\frac{3}{\sqrt{10}}-\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{2\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{10}}{5}$$

정답: ⑤ $\frac{\sqrt{10}}{5}$

3번삼각비★☆☆

핵심 개념 · 30°의 사인·코사인 값으로 두 변을 구한다

빗변의 길이와 한 예각이 30°로 주어진 직각삼각형에서 나머지 두 변의 길이의 합을 구하는 문제입니다.

이 문제는 특수각 30°의 사인·코사인 값으로 빗변이 아닌 두 변을 각각 구하는 문제입니다.

STEP 1∠C=90°, 빗변 $\overline{AB}=16$이고 $x=\overline{AC}$, $y=\overline{BC}$입니다.

STEP 2$$y=16\sin 30^{\circ }=16\times \frac{1}{2}=8,x=16\cos 30^{\circ }=16\times \frac{\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$$

STEP 3$$x+y=8\sqrt{3}+8=8(1+\sqrt{3})$$ (검산: $8^2+(8\sqrt{3}{)}^2=64+192=256=16^2$)

정답: ③ $8(1+\sqrt{3})$

4번삼각비★☆☆

핵심 개념 · 빗변이 주어지면 이웃한 변은 코사인, 마주 보는 변은 사인

빗변의 길이와 한 예각의 크기가 주어진 직각삼각형에서, 주어진 삼각비 값을 이용해 나머지 두 변의 길이를 구하는 문제입니다.

이 문제는 빗변을 기준으로 각에 이웃한 변과 마주 보는 변을 구분해 삼각비를 적용하는 문제입니다.

STEP 1∠C=90°, 빗변 $\overline{AB}=12$, ∠A=55°입니다. $\overline{AC}$는 ∠A에 이웃한 변이므로 $$\overline{AC}=12\cos 55^{\circ }=12\times 0.57=6.84$$

STEP 2$\overline{BC}$는 ∠A와 마주 보는 변이므로 $$\overline{BC}=12\sin 55^{\circ }=12\times 0.82=9.84$$

정답: ① $\overline{AC}=6.84,\overline{BC}=9.84$

5번삼각비★☆☆

핵심 개념 · 빗변 또는 밑변이 1인 직각삼각형을 찾으면 삼각비가 선분 하나의 길이가 된다

반지름의 길이가 1인 사분원 위에 표시된 선분의 길이를 읽어 두 삼각비의 합을 구하는 문제입니다.

이 문제는 분모가 1이 되는 직각삼각형을 골라 삼각비를 선분 하나의 길이로 바꾸는 문제입니다.

STEP 1△AOB는 ∠OBA=90°이고 빗변 $\overline{OA}=1$(반지름)이므로 $$\cos 40^{\circ }=\frac{\overline{OB}}{\overline{OA}}=\overline{OB}=0.77$$

STEP 2△POQ는 ∠OQP=90°이고 $\overline{OQ}=1$이므로 $$\tan 40^{\circ }=\frac{\overline{PQ}}{\overline{OQ}}=\overline{PQ}=0.84$$ (점 P의 높이가 0.84입니다. 0.64는 점 A의 높이로 $\sin 40^{\circ }$입니다.)

STEP 3$$\tan 40^{\circ }+\cos 40^{\circ }=0.84+0.77=1.61$$

정답: ④ 1.61

6번삼각비★★☆

핵심 개념 · 크기가 같은 각을 찾아 큰 직각삼각형의 삼각비로 바꾼다

직각삼각형의 빗변에 수직인 선분을 그린 그림에서 두 변의 길이가 주어질 때, 표시된 각의 사인 값을 구하는 문제입니다.

이 문제는 표시된 각 x와 크기가 같은 각을 큰 직각삼각형 ABC에서 찾는 문제입니다. 그림에서 $x=\angle ADE$입니다.

STEP 1△ABC에서 ∠C=90°이므로 $$\overline{AB}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$$

STEP 2△ADE에서 ∠AED=90°이므로 $\angle ADE=90^{\circ }-\angle A$이고, △ABC에서 $\angle B=90^{\circ }-\angle A$입니다. 따라서 $x=\angle ADE=\angle B$입니다.

STEP 3$$\sin x=\sin B=\frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}=\frac{6}{3\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$ (검산: $\cos B=\frac{3}{3\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$이고 $\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=1$)

정답: ③ $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

여기서 많이 틀려요 · x는 꼭짓점 D에 있는 ∠ADE입니다. 길이가 주어지지 않은 △ADE에서 직접 구하려 하지 말고, 같은 크기의 각 ∠B로 옮겨야 합니다. 이때 sin B는 ∠B와 마주 보는 변 AC를 빗변으로 나눈 값입니다(BC로 나누면 오답).

7번삼각비★★☆

핵심 개념 · 0°, 30°, 45°, 60°, 90°의 삼각비 값을 정확히 대입한다

특수한 각의 삼각비 값으로 이루어진 계산식 다섯 개 중 옳은 것을 고르는 문제입니다.

이 문제는 특수각의 삼각비 값을 하나씩 대입해 각 식을 직접 계산하는 문제입니다.

STEP 1① $\tan 45^{\circ }\times \tan 0^{\circ }=1\times 0=0$ (틀림)
② $\sin 60^{\circ }+\cos 0^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}+1$ (틀림)

STEP 2③ $\cos 30^{\circ }+\tan 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{6}=\frac{5\sqrt{3}}{6}$ (옳음)

STEP 3④ $\sin 90^{\circ }\times \cos 30^{\circ }-\cos 60^{\circ }÷\tan 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\times \sqrt{3}=0$ (틀림)

STEP 4⑤ $\sin 45^{\circ }\times \cos 90^{\circ }+\cos 60^{\circ }\times \tan 60^{\circ }=0+\frac{1}{2}\times \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (틀림)

정답: ③

8번삼각비의 활용★★☆

핵심 개념 · 수선을 그어 직각삼각형 두 개로 나눈다

호수의 폭을 재기 위해 호수 밖에 잡은 점과 두 끝점이 이루는 삼각형에서 두 각의 크기와 한 변의 길이가 주어질 때, 호수의 폭을 구하는 문제입니다.

이 문제는 꼭짓점 B에서 마주 보는 변에 수선을 그어 직각삼각형 두 개로 나누는 문제입니다.

STEP 1△ABC에서 $\angle C=180^{\circ }-45^{\circ }-75^{\circ }=60^{\circ }$이고 $\overline{BC}=13$m입니다.

STEP 2점 B에서 $\overline{AC}$에 내린 수선의 발을 H라 하면, 직각삼각형 BCH에서 $$\overline{BH}=13\sin 60^{\circ }=\frac{13\sqrt{3}}{2}$$

STEP 3직각삼각형 ABH에서 ∠A=45°이므로 $$\overline{AB}=\frac{\overline{BH}}{\sin 45^{\circ }}=\frac{13\sqrt{3}}{2}\times \sqrt{2}=\frac{13\sqrt{6}}{2}\text{(m)}$$ (검산: $\frac{13\sqrt{6}}{2}\approx 15.92$이고, ∠C=60°의 맞은편 변이 ∠A=45°의 맞은편 변 13m보다 긴 것과 맞습니다.)

정답: ⑤ $\frac{13\sqrt{6}}{2}$ m

9번삼각비의 활용★★☆

핵심 개념 · 평행사변형의 넓이 = 두 변의 길이 × 끼인각의 사인

평행사변형의 이웃한 두 변의 길이와 한 내각의 크기가 주어질 때, 두 대각선의 교점과 두 꼭짓점이 이루는 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다.

이 문제는 평행사변형의 넓이를 구한 뒤, 두 대각선이 평행사변형을 넓이가 같은 네 삼각형으로 나눈다는 성질을 쓰는 문제입니다.

STEP 1∠BCD=60°이고 $\overline{CD}=\overline{AB}=6$, $\overline{BC}=\overline{AD}=8$이므로 평행사변형 ABCD의 넓이는 $$6\times 8\times \sin 60^{\circ }=48\times \frac{\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}$$

STEP 2평행사변형의 두 대각선은 서로를 이등분하므로, 점 O로 나뉜 네 삼각형 △AOB, △BOC, △COD, △DOA의 넓이는 모두 같습니다.

STEP 3$$△AOD=\frac{1}{4}\times 24\sqrt{3}=6\sqrt{3}$$

정답: ② $6\sqrt{3}$

10번삼각비의 활용★★☆

핵심 개념 · 대각선으로 나눈 두 삼각형의 넓이를 각각 구해 더한다

대각선으로 나뉜 사각형에서 두 변의 길이와 대각선이 이루는 두 각의 크기가 주어질 때, 사각형의 넓이를 구하는 문제입니다.

이 문제는 대각선 BD로 사각형을 두 삼각형으로 나누고, 각 삼각형의 넓이를 따로 구하는 문제입니다.

STEP 1△ABD는 ∠A=90°, ∠ADB=45°인 직각이등변삼각형이므로 $\overline{AD}=\overline{AB}=8$, $\overline{BD}=8\sqrt{2}$입니다. $$△ABD=\frac{1}{2}\times 8\times 8=32$$

STEP 2△BCD는 $\overline{BD}=8\sqrt{2}$, $\overline{BC}=12$이고 끼인각이 ∠CBD=30°이므로 $$△BCD=\frac{1}{2}\times 8\sqrt{2}\times 12\times \sin 30^{\circ }=24\sqrt{2}$$

STEP 3$$\square ABCD=32+24\sqrt{2}=8(4+3\sqrt{2})$$ (검산: D에서 $\overline{BC}$까지의 높이 $8\sqrt{2}\sin 30^{\circ }=4\sqrt{2}$로 구해도 $\frac{1}{2}\times 12\times 4\sqrt{2}=24\sqrt{2}$)

정답: ④ $8(4+3\sqrt{2})$

11번원과 직선★★☆

핵심 개념 · 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분한다

원 모양의 종이를 원 위의 한 점이 중심에 닿도록 접었을 때 생긴 접는 선의 길이가 주어지면, 접기 전 종이의 넓이를 구하는 문제입니다.

이 문제는 접는 선이 원의 중심에서 반지름의 절반만큼 떨어져 있다는 것을 찾고, 현의 성질로 직각삼각형을 만드는 문제입니다.

STEP 1원의 반지름을 r, 중심 O로 접혀 온 원 위의 점을 P라 하면, 접는 선 $\overline{AB}$는 $\overline{OP}$의 수직이등분선입니다. 따라서 O에서 $\overline{AB}$까지의 거리는 $\frac{r}{2}$입니다.

STEP 2O에서 $\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 M이라 하면 M은 $\overline{AB}$의 중점이므로 $\overline{AM}=5$입니다.

STEP 3직각삼각형 OAM에서 $\overline{OA}=r$이므로 $$r^2=5^2+{\left(\frac{r}{2}\right)}^2\Rightarrow \frac{3}{4}{r}^2=25\Rightarrow r^2=\frac{100}{3}$$

STEP 4접기 전 종이의 넓이는 $$\pi r^2=\frac{100}{3}\pi ({\text{cm}}^2)$$

정답: ① $\frac{100}{3}\pi {\text{cm}}^2$

여기서 많이 틀려요 · 접는 선 AB는 원의 지름이 아닙니다. 원 위의 점이 중심까지 오도록 접었으므로 접는 선은 중심에서 반지름의 절반 거리에 있습니다. AB=10을 지름으로 보고 25π를 떠올리거나, r²을 구하고 π를 빼먹지 않도록 주의하세요.

12번원과 직선★★☆

핵심 개념 · 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다

삼각형의 내접원과 세 변의 접점이 주어지고 두 내각의 크기가 주어질 때, 두 접점을 이은 선분과 한 변이 이루는 각의 크기를 구하는 문제입니다.

이 문제는 꼭짓점 A에서 내접원에 그은 두 접선의 길이가 같다는 성질로 이등변삼각형을 찾는 문제입니다. 그림에서 $x=\angle ADE$입니다.

STEP 1$$\angle A=180^{\circ }-47^{\circ }-68^{\circ }=65^{\circ }$$

STEP 2D, E는 점 A에서 원 O에 그은 두 접선의 접점이므로 $\overline{AD}=\overline{AE}$, 즉 △ADE는 이등변삼각형입니다.

STEP 3$$x=\angle ADE=\frac{180^{\circ }-65^{\circ }}{2}=57.5^{\circ }$$ (검산: 사각형 ADOE에서 $\angle DOE=180^{\circ }-65^{\circ }=115^{\circ }$이고, 접선과 현이 이루는 각 ∠ADE는 호 DE에 대한 원주각 $\frac{115^{\circ }}{2}=57.5^{\circ }$와 같습니다.)

정답: ② 57.5°

13번원주각★★☆

핵심 개념 · 반원에 대한 원주각은 90°, 원주각은 중심각의 절반

반원의 지름 양 끝에서 그은 두 직선이 원 밖의 한 점에서 만나는 그림에서 그 점의 각이 주어질 때, 반원 위의 두 점과 중심이 이루는 각의 크기를 구하는 문제입니다.

이 문제는 지름에 대한 원주각이 90°임을 이용해 원주각 ∠CAD를 구하고, 중심각으로 바꾸는 문제입니다. 그림에서 $x=\angle COD$입니다.

STEP 1$\overline{AB}$가 지름이므로 $\angle ADB=90^{\circ }$이고, 점 D가 $\overline{PB}$ 위에 있으므로 $\angle ADP=90^{\circ }$입니다.

STEP 2△APD에서 $$\angle PAD=180^{\circ }-90^{\circ }-69^{\circ }=21^{\circ }$$ 점 C가 $\overline{PA}$ 위에 있으므로 $\angle CAD=21^{\circ }$입니다.

STEP 3∠CAD는 호 CD에 대한 원주각이므로 $$x=\angle COD=2\times 21^{\circ }=42^{\circ }$$ (검산: 반원 위에 ∠COD=42°가 되게 C, D를 잡아 두 직선 AC, BD의 교점 P의 각을 직접 계산하면 69°가 나옵니다.)

정답: ② 42°

14번원주각★★☆

핵심 개념 · 접선은 접점을 지나는 반지름에 수직, 원주각은 중심각의 절반

원 밖의 한 점에서 그은 두 접선이 이루는 각이 주어질 때, 두 접점에 대한 중심각과 원주각의 크기를 구하는 문제입니다.

이 문제는 접선과 반지름이 수직인 것으로 중심각을 구하고, 원주각은 그 절반임을 쓰는 문제입니다. 그림에서 $x=\angle AOB$, $y=\angle AQB$입니다.

STEP 1$\angle OAP=\angle OBP=90^{\circ }$이므로 사각형 OAPB에서 $$x=\angle AOB=360^{\circ }-90^{\circ }-90^{\circ }-44^{\circ }=136^{\circ }$$

STEP 2∠AQB는 호 AB(점 P 쪽의 작은 호)에 대한 원주각이므로 $$y=\angle AQB=\frac{1}{2}\times 136^{\circ }=68^{\circ }$$

정답: ④ ∠x=136°, ∠y=68°

15번원주각★★☆

핵심 개념 · 보조선으로 원에 내접하는 사각형을 만들고 원주각을 더한다

원에 내접하는 오각형에서 한 중심각의 크기가 주어질 때, 오각형의 두 내각의 합을 구하는 문제입니다.

이 문제는 대각선 BD를 그어 원에 내접하는 사각형과 원주각으로 나누는 문제입니다.

STEP 1대각선 $\overline{BD}$를 그으면 사각형 ABDE는 원에 내접하므로 대각의 합이 180°입니다. $$\angle BAE+\angle BDE=180^{\circ }$$

STEP 2∠BDC는 호 BC에 대한 원주각이므로 $$\angle BDC=\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{1}{2}\times 76^{\circ }=38^{\circ }$$

STEP 3$\angle CDE=\angle CDB+\angle BDE$이므로 $$\angle BAE+\angle CDE=(\angle BAE+\angle BDE)+\angle BDC$$ $$=180^{\circ }+38^{\circ }=218^{\circ }$$ (검산: 두 각이 마주 보는 호를 더하면 원 전체 360°에 호 BC 76°가 한 번 더 들어가므로 $\frac{360^{\circ }+76^{\circ }}{2}=218^{\circ }$)

정답: ⑤ 218°

16번원주각★★☆

핵심 개념 · 접선과 현이 이루는 각은 그 각 안에 있는 호에 대한 원주각과 같다

원의 지름을 연장한 직선이 접선과 만나는 그림에서 접선과 현이 이루는 각이 주어질 때, 표시된 두 각의 크기의 차를 구하는 문제입니다.

이 문제는 접선과 현이 이루는 각의 성질과 지름에 대한 원주각 90°를 함께 쓰는 문제입니다. 그림에서 $x=\angle ABC$(꼭짓점 B), $y=\angle A{T}^{\prime }B$(꼭짓점 T′)입니다.

STEP 1$\overline{BC}$는 지름이므로 $\angle BAC=90^{\circ }$입니다. 접선과 현이 이루는 각 ∠BAT는 호 AB에 대한 원주각 ∠ACB와 같으므로 $\angle ACB=65^{\circ }$입니다.

STEP 2△ABC에서 $$x=\angle ABC=180^{\circ }-90^{\circ }-65^{\circ }=25^{\circ }$$

STEP 3점 A에서 $\angle BA{T}^{\prime }=180^{\circ }-65^{\circ }=115^{\circ }$이므로 △ABT′에서 $$y=\angle A{T}^{\prime }B=180^{\circ }-115^{\circ }-25^{\circ }=40^{\circ }$$

STEP 4$$\angle y-\angle x=40^{\circ }-25^{\circ }=15^{\circ }$$ (검산: △ACT′에서 $\angle CA{T}^{\prime }=180^{\circ }-65^{\circ }-90^{\circ }=25^{\circ }$, $\angle AC{T}^{\prime }=180^{\circ }-65^{\circ }=115^{\circ }$이므로 $\angle A{T}^{\prime }C=40^{\circ }$로 같습니다.)

정답: ① 15°

여기서 많이 틀려요 · y는 점 A가 아니라 접선과 지름의 연장선이 만나는 점 T′의 각입니다. 점 A의 ∠CAT′(=25°)를 y로 읽으면 y−x=0이 되어 선택지에 없습니다. 각의 꼭짓점부터 확인하세요.

17번삼각비의 활용★★☆

핵심 개념 · 공통인 높이를 먼저 구하고 두 밑변의 차를 이용한다

한 직선 위의 두 점에서 같은 꼭짓점을 바라본 각의 크기와 한 선분의 길이가 주어질 때, 두 점 사이의 거리를 구하는 문제입니다.

이 문제는 두 직각삼각형 ACH, BCH가 공통으로 가진 높이 $\overline{CH}$를 먼저 구하는 문제입니다.

STEP 1직각삼각형 ACH에서 $$\overline{CH}=10\sin 30^{\circ }=5,\overline{AH}=10\cos 30^{\circ }=5\sqrt{3}$$

STEP 2직각삼각형 BCH에서 ∠CBH=45°이므로 직각이등변삼각형이고 $\overline{BH}=\overline{CH}=5$입니다.

STEP 3$$\overline{AB}=\overline{AH}-\overline{BH}=5\sqrt{3}-5=5(\sqrt{3}-1)$$

정답: ⑤ $5(\sqrt{3}-1)$

18번원주각★★☆

핵심 개념 · 호의 길이는 중심각에 정비례하고, 원주각은 중심각의 절반

지름과 한 현이 원 안에서 만나는 그림에서 두 호의 길이의 비가 주어질 때, 두 현이 만나서 이루는 각의 크기를 구하는 문제입니다.

이 문제는 호의 길이를 중심각으로 바꾸고, 삼각형의 외각을 원주각 두 개의 합으로 구하는 문제입니다. 그림에서 구하는 각은 지름 $\overline{AB}$와 현 $\overline{CD}$의 교점 P에서의 ∠APD입니다.

STEP 1호 AC의 길이가 원주의 $\frac{1}{6}$이므로 $\angle AOC=360^{\circ }\times \frac{1}{6}=60^{\circ }$입니다. 호 AC : 호 BD = 5 : 4이므로 $$\angle BOD=60^{\circ }\times \frac{4}{5}=48^{\circ }$$

STEP 2$\overline{AB}$가 지름이므로 $\angle AOD=180^{\circ }-48^{\circ }=132^{\circ }$, $\angle BOC=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$입니다.

STEP 3△PBD에서 원주각을 구하면 $$\angle PBD=\angle ABD=\frac{1}{2}\times 132^{\circ }=66^{\circ }$$ $$\angle PDB=\angle CDB=\frac{1}{2}\times 120^{\circ }=60^{\circ }$$

STEP 4∠APD는 △PBD의 꼭짓점 P에서의 외각이므로 $$\angle APD=66^{\circ }+60^{\circ }=126^{\circ }$$ (검산: $\angle APC=\frac{1}{2}(60^{\circ }+48^{\circ })=54^{\circ }$이고 $180^{\circ }-54^{\circ }=126^{\circ }$)

정답: ① 126°

여기서 많이 틀려요 · 호 AC가 원주의 1/6이라는 것은 중심각이 60°라는 뜻이고, 호 BD는 그 4/5인 48°입니다. 구한 각은 ∠APC가 아니라 ∠APD이므로, 54°에서 멈추지 말고 보각인지 확인하세요.

19번원주각★★☆

핵심 개념 · 접선과 현이 이루는 각 = 그 각 안의 호에 대한 원주각

원의 접선과 현이 이루는 각의 크기와 현의 길이가 주어질 때, 원의 넓이를 구하는 문제입니다.

이 문제는 지름을 하나 그어 직각삼각형을 만들고, 접선과 현이 이루는 각을 그 직각삼각형의 한 각으로 옮기는 문제입니다.

STEP 1점 B를 지나는 지름 $\overline{B{B}^{\prime }}$를 그으면 $\angle BA{B}^{\prime }=90^{\circ }$입니다.

STEP 2접선과 현이 이루는 각 ∠ABP는 호 AB에 대한 원주각 ∠AB′B와 같으므로 $\angle A{B}^{\prime }B=60^{\circ }$입니다.

STEP 3직각삼각형 ABB′에서 $$\overline{B{B}^{\prime }}=\frac{\overline{AB}}{\sin 60^{\circ }}=8\times \frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{16\sqrt{3}}{3}$$ 이므로 반지름은 $\frac{8\sqrt{3}}{3}$입니다.

STEP 4$$\pi \times {\left(\frac{8\sqrt{3}}{3}\right)}^2=\frac{64}{3}\pi$$ (검산: 중심각 ∠AOB=120°인 이등변삼각형 AOB에서 $\overline{AB}=\sqrt{3}r$이므로 $r=\frac{8}{\sqrt{3}}$, $r^2=\frac{64}{3}$)

정답: ⑤ $\frac{64}{3}\pi$

20번삼각비의 활용★★☆

핵심 개념 · 평행사변형의 넓이 = 두 변의 길이 × 끼인각의 사인

이웃한 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 주어진 평행사변형의 넓이를 구하는 문제입니다.

이 문제는 평행사변형의 넓이 공식을 그대로 적용하는 문제입니다.

STEP 1이웃한 두 변의 길이는 8, 10이고 끼인각은 45°입니다.

STEP 2$$10\times 8\times \sin 45^{\circ }=80\times \frac{\sqrt{2}}{2}=40\sqrt{2}$$ (검산: 높이 $8\sin 45^{\circ }=4\sqrt{2}$에 밑변 10을 곱해도 $40\sqrt{2}$)

정답: ④ $40\sqrt{2}$

21번삼각비의 활용★★★

핵심 개념 · 추의 높이 = 줄의 길이 − 줄을 수직선 위로 옮긴 길이

시계추가 일정한 각도 범위에서 좌우로 움직일 때, 줄의 길이와 흔들리는 각이 주어지면 가장 높은 위치의 추가 가장 낮은 위치보다 얼마나 높은지 구하는 문제입니다.

이 문제는 가장 높은 위치 B에서 연직선 OA에 수선을 그어 직각삼각형을 만드는 문제입니다.

STEP 1추가 가장 높이 올라간 위치는 B(또는 B′)이고, 가장 낮은 위치는 A입니다.

STEP 2점 B에서 $\overline{OA}$에 내린 수선의 발을 H라 하면, 직각삼각형 OBH에서 $$\overline{OH}=32\cos 45^{\circ }=32\times \frac{\sqrt{2}}{2}=16\sqrt{2}$$

STEP 3A를 기준으로 한 추의 높이는 $$\overline{AH}=\overline{OA}-\overline{OH}=32-16\sqrt{2}=16(2-\sqrt{2})\text{(cm)}$$ (검산: $16(2-\sqrt{2})\approx 9.37$cm로 줄 길이 32cm보다 작고 0보다 큽니다.)

정답: ⑤ $16(2-\sqrt{2})$ cm

여기서 많이 틀려요 · 32cos45°=16√2는 O에서 H까지의 길이이지 추의 높이가 아닙니다. 높이는 줄의 길이 32에서 이 값을 뺀 AH입니다.

22번삼각비★★★

핵심 개념 · 직각삼각형 안의 같은 각을 찾아 이웃한 변을 차례로 구한다

직사각형의 한 꼭짓점에서 대각선에 수선을 그은 그림에서 한 각의 크기와 대각선 위 한 선분의 길이가 주어질 때, 직사각형의 둘레의 길이를 구하는 문제입니다.

이 문제는 직각삼각형 AHD에서 가로 길이를 구하고, 직각삼각형 ABD에서 세로 길이를 구하는 문제입니다. 그림에서 60°는 ∠HAD입니다.

STEP 1직각삼각형 AHD에서 ∠AHD=90°, ∠HAD=60°, $\overline{HD}=12$이므로 $$\overline{AD}=\frac{\overline{HD}}{\sin 60^{\circ }}=12\times \frac{2}{\sqrt{3}}=8\sqrt{3}$$

STEP 2△AHD에서 $\angle ADB=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$입니다. 직각삼각형 ABD(∠BAD=90°)에서 $$\overline{AB}=\overline{AD}\tan 30^{\circ }=8\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{3}=8$$

STEP 3둘레는 $$2(\overline{AB}+\overline{AD})=2(8+8\sqrt{3})=16(1+\sqrt{3})$$ (검산: $\overline{AH}=8\sqrt{3}\cos 60^{\circ }=4\sqrt{3}$, ∠BAH=30°이므로 $\overline{AB}=\frac{4\sqrt{3}}{\cos 30^{\circ }}=8$)

정답: ② $16(1+\sqrt{3})$

23번원주각★★★

핵심 개념 · 반원에 대한 원주각은 90°이고, 호의 길이의 비는 원주각의 비

원을 반으로 접은 뒤, 반원의 호 위 한 점과 지름의 한 끝을 이은 현을 따라 다시 접어 두 호의 길이의 비가 주어질 때, 현과 지름이 이루는 각의 크기를 구하는 문제입니다.

이 문제는 접은 뒤에도 호의 길이가 그대로라는 것을 이용해, 반원의 호를 두 부분으로 나누는 문제입니다. 그림에서 $\overline{AC}$는 처음 반으로 접은 지름이고, 두 번째로 현 $\overline{AB}$를 따라 접었습니다.

STEP 1접은 호 AB는 원래 반원의 호 ACB의 일부이므로, 반원의 호는 호 AB와 호 BC로 나뉩니다. 호 AB = 5 × 호 BC 이므로 호 AB : 호 BC = 5 : 1입니다.

STEP 2$\overline{AC}$가 지름이므로 $\angle ABC=90^{\circ }$이고, △ABC에서 $\angle BAC+\angle BCA=90^{\circ }$입니다.

STEP 3한 원에서 호의 길이는 그 호에 대한 원주각의 크기에 정비례합니다. ∠BAC는 호 BC, ∠BCA는 호 AB에 대한 원주각이므로 $\angle BAC:\angle BCA=1:5$입니다.

STEP 4$$\angle BAC=90^{\circ }\times \frac{1}{6}=15^{\circ }$$ (검산: 반원의 중심각 180°를 5 : 1로 나누면 호 BC의 중심각은 30°이고, 원주각은 그 절반인 15°입니다.)

정답: ① 15°

여기서 많이 틀려요 · 호 AB는 접혀서 아래로 내려온 호이지만 길이는 접기 전과 같습니다. 원래 반원의 호 위에서 호 AB와 호 BC를 비교해야 하며, 반원 전체 180°(원주각으로는 90°)를 5 : 1로 나눕니다.

24번삼각비의 활용★★★

핵심 개념 · 두 변과 끼인각으로 나타낸 넓이 = 밑변과 높이로 구한 넓이

모서리의 길이가 주어진 정사면체에서 한 모서리의 중점과 다른 두 꼭짓점이 이루는 각의 사인 값을 구하는 문제입니다.

이 문제는 △AMD의 넓이를 두 가지 방법으로 나타내어 사인 값을 구하는 문제입니다. 그림에서 $x=\angle AMD$(꼭짓점 M)입니다.

STEP 1△ABC, △DBC는 한 변이 4인 정삼각형이고 M은 $\overline{BC}$의 중점이므로 $$\overline{AM}=\overline{DM}=\frac{\sqrt{3}}{2}\times 4=2\sqrt{3},\overline{AD}=4$$

STEP 2△AMD는 이등변삼각형이므로 $\overline{AD}$의 중점을 N이라 하면 $\overline{MN}\perp \overline{AD}$이고 $$\overline{MN}=\sqrt{(2\sqrt{3}{)}^2-2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$ $$△AMD=\frac{1}{2}\times 4\times 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$$

STEP 3두 변과 끼인각으로 넓이를 나타내면 $$\frac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times 2\sqrt{3}\times \sin x=6\sin x=4\sqrt{2}\Rightarrow \sin x=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$ (검산: A에서 $\overline{MD}$에 내린 수선의 길이를 h라 하면 $\frac{1}{2}\times 2\sqrt{3}\times h=4\sqrt{2}$에서 $h=\frac{4\sqrt{6}}{3}$, $\sin x=\frac{h}{\overline{AM}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$)

정답: ② $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

25번원과 직선★★★

핵심 개념 · 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같다

직각삼각형의 한 변을 지름으로 하는 원 위의 점에서 그은 접선이 다른 변과 만날 때, 두 변의 길이가 주어지면 접선으로 생긴 삼각형의 넓이를 구하는 문제입니다.

이 문제는 접선의 길이가 같다는 성질로 점 E가 $\overline{BC}$의 중점임을 보이고, 넓이의 비를 이용하는 문제입니다. 점 D는 원 O와 $\overline{AC}$의 교점입니다.

STEP 1$\overline{AB}$가 지름이므로 $\angle ADB=90^{\circ }$, 즉 $\overline{BD}\perp \overline{AC}$입니다. 또 $\overline{BC}\perp \overline{AB}$이므로 $\overline{BC}$는 점 B에서 원 O에 접합니다.

STEP 2점 E에서 원 O에 그은 두 접선이므로 $\overline{EB}=\overline{ED}$이고 ∠EBD=∠EDB입니다. 직각삼각형 BDC에서 $\angle EDC=90^{\circ }-\angle EDB=90^{\circ }-\angle EBD=\angle ECD$이므로 $\overline{ED}=\overline{EC}$입니다. 따라서 E는 $\overline{BC}$의 중점입니다.

STEP 3$\overline{AC}=\sqrt{15^2+30^2}=15\sqrt{5}$이고, △ABC의 넓이로부터 $$\overline{BD}=\frac{15\times 30}{15\sqrt{5}}=6\sqrt{5},\overline{DC}=\sqrt{30^2-(6\sqrt{5}{)}^2}=\sqrt{720}=12\sqrt{5}$$ $$△DBC=\frac{1}{2}\times 6\sqrt{5}\times 12\sqrt{5}=180$$

STEP 4E가 $\overline{BC}$의 중점이므로 $$△DEC=\frac{1}{2}△DBC=90({\text{cm}}^2)$$ (검산: △ABC=225이고 $\overline{DC}:\overline{AC}=12\sqrt{5}:15\sqrt{5}=4:5$이므로 △DBC=180)

정답: ④ 90 cm²

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2026년 인천중 3학년 2학기 기말고사, 이렇게 준비하세요

첫째, 각에 이름표를 붙이는 습관을 들이세요. 이번 시험의 6·12·13·16·18번은 x, y가 어느 꼭짓점의 어느 두 선분 사이 각인지 "∠ADE"처럼 점 세 개로 적어 두면 바로 풀렸고, 잘못 읽으면 선택지에 있는 다른 값으로 이어졌습니다.

둘째, 삼각비의 활용은 "수선을 어디에 그을까"를 연습의 중심에 두세요. 8번(호수의 폭), 17번(두 지점 사이 거리), 21번(시계추의 높이)은 모두 수선 하나로 직각삼각형을 만들면 끝나는 문제였습니다. 두 변과 끼인각으로 넓이를 구하는 공식(9·10·20·24번)도 손에 익혀 두면 시간을 크게 아낄 수 있습니다.

셋째, 원의 성질은 "원주각은 중심각의 절반", "지름에 대한 원주각은 90°", "접선과 현이 이루는 각은 원주각과 같다", "접선의 길이는 같다" 네 문장을 그림과 함께 외워 두세요. 13번부터 25번까지의 원 문제는 거의 모두 이 네 가지의 조합이었습니다.

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풀이를 따라가다 막히는 단계가 있거나 다른 방법으로 푼 풀이가 궁금하면 댓글로 남겨 주세요. 확인하는 대로 답글을 드리겠습니다. 인천 지역 다른 학교의 기출 해설도 계속 올리겠습니다.

일등급솔루션학원 · 좋은 습관은 인생을 바꾼다
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